Какова площадь треугольника, если радиус его вписанной окружности составляет 3 см, а периметр треугольника равен

Тема: Площадь треугольника с вписанной окружностью

Объяснение: Для начала, давайте вспомним основные свойства треугольника с вписанной окружностью. Радиус вписанной окружности в треугольник всегда является перпендикулярным к стороне треугольника, а в точке касания она делится на две равные части. Также можно заметить, что точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника образуют равнобедренный треугольник.

Площадь треугольника можно найти с помощью формулы Герона, которая выглядит следующим образом:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(p\) - полупериметр треугольника, \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника.

Для решения задачи, нам необходимо найти значения сторон треугольника. Так как периметр треугольника равен 20 см, то сумма длин сторон будет равна 20 см. Перепишем это уравнение:

\[a + b + c = 20\]

Мы также знаем, что радиус вписанной окружности составляет 3 см, а точки касания окружности с сторонами треугольника делят стороны на равные части. Значит, каждая сторона треугольника будет равна сумме двух отрезков, где один отрезок - это радиус вписанной окружности, а другой - это отрезок от точки касания до вершины треугольника. Перепишем это в уравнениях:

\[a = 2r + x\]
\[b = 2r + y\]
\[c = 2r + z\]

где \(r\) - радиус вписанной окружности, \(x\), \(y\) и \(z\) - отрезки от точек касания до вершин треугольника.

Теперь мы можем заменить значения сторон \(a\), \(b\) и \(c\) в уравнении периметра треугольника:

\[2r + x + 2r + y + 2r + z = 20\]

Упростим это уравнение:

\[6r + x + y + z = 20\]

Нам также известно, что радиус вписанной окружности составляет 3 см. Значит, \(r = 3\). Подставим это значение в уравнение:

\[6(3) + x + y + z = 20\]
\[18 + x + y + z = 20\]
\[x + y + z = 2\]

Теперь мы имеем систему трех уравнений:

\[x + y + z = 2\]
\[x = 2r + y\]
\[z = 2r + y\]

Зная, что \(x + y + z = 2\), можем подставить это значение в последние два уравнения:

\[2r + y + y = 2\]
\[2r + 2y = 2\]
\[3 + 2y = 2\]
\[2y = 2 - 3\]
\[2y = -1\]
\[y = -\frac{1}{2}\]

Таким образом, мы нашли значение \(y\). Далее, с помощью этого значения, мы можем найти \(x\) и \(z\):

\[x = 2r + y = 2(3) + \left(-\frac{1}{2}\right) = 6 - \frac{1}{2} = \frac{11}{2}\]
\[z = 2r + y = 2(3) + \left(-\frac{1}{2}\right) = 6 - \frac{1}{2} = \frac{11}{2}\]

Теперь, с знанием длин сторон треугольника, мы можем использовать формулу Герона, чтобы найти его площадь:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]
\[p = \frac{a + b + c}{2}\]

\[p = \frac{\frac{11}{2} + \frac{11}{2} + 3}{2} = \frac{11 + 11 + 6}{4} = \frac{28}{4} = 7\]

\[S = \sqrt{7(7 - \frac{11}{2})(7 - \frac{11}{2})(7 - \frac{11}{2})}\]
\[S = \sqrt{7(\frac{14 - 11}{2})(\frac{14 - 11}{2})(\frac{14 - 11}{2})}\]
\[S = \sqrt{7(\frac{3}{2})(\frac{3}{2})(\frac{3}{2})}\]
\[S = \sqrt{7 \cdot \frac{27}{8}}\]
\[S = \sqrt{\frac{189}{8}}\]

Таким образом, площадь треугольника составляет \(\sqrt{\frac{189}{8}}\) квадратных сантиметров.

Совет: Для понимания этой задачи рекомендую вспомнить свойства треугольника с вписанной окружностью, а также формулу площади треугольника по формуле Герона.

Упражнение: Пусть радиус вписанной окружности равен 5 см, а периметр треугольника составляет 30 см. Найдите площадь этого треугольника.