Какова площадь сегмента круга, находящегося за пределами прямоугольника, вписанного в окружность с периметром 56

Содержание: Площадь сегмента круга

Пояснение: Для решения этой задачи, нам нужно знать несколько важных понятий. Сегмент круга - это часть круга, ограниченная дугой и хордой круга. Площадь сегмента круга можно вычислить, используя формулу площади круга и вычитая площадь треугольника, образованного центральным углом с дугой.

Периметр прямоугольника равен 56 см, а соотношение его сторон 3:4. Пусть стороны прямоугольника будут 3x и 4x, соответственно. Периметр прямоугольника равен 2(3x + 4x) = 14x. Поэтому 14x = 56, и x = 4.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 12 см и 16 см.

Радиус окружности равен половине диагонали прямоугольника, поэтому r = 1/2 * √((12/2)^2 + (16/2)^2) = 1/2 * √(36 + 64) = 1/2 * √100 = 1/2 * 10 = 5 см.

Теперь можно рассчитать площадь сегмента круга. Площадь круга равна πr^2, а площадь треугольника равна (1/2)bh. Таким образом, площадь сегмента круга равна площади круга минус площадь треугольника.

Площадь круга: Sкруг = πr^2 = π * 5^2 = 25π

Высота треугольника равна радиусу круга, а его основание равно длине дуги. Длина дуги можно найти, используя формулу длины дуги L = (α/360°) * 2πr, где α - центральный угол.

Центральный угол можно найти, используя соотношение сторон прямоугольника. 3x/4x = α/360°. Решив это уравнение, получим α = (3/4) * 360° = 270°

Теперь можно найти длину дуги: L = (270°/360°) * 2π * 5см = 3/4 * 2π * 5см = 15π/4см

Теперь мы можем рассчитать площадь треугольника: Str = (1/2)bh = (1/2) * (15π/4) * 5см = 37,5π см^2

Итак, площадь сегмента круга равна площади круга минус площади треугольника: Sсегмента = Sкруг - Str = 25π - 37,5π = -12,5π.

Например: Рассчитайте площадь сегмента круга, если стороны вписанного прямоугольника имеют соотношение 2:5 и периметр прямоугольника составляет 36 см.

Совет: Помните о свойствах окружности, таких как формулы для вычисления площади и длины дуги. Примеры использования и практические задания могут помочь закрепить полученные знания.

Дополнительное упражнение: Найдите площадь сегмента круга, если радиус окружности равен 7 см, а длина хорды, образующей сегмент, равна 8 см. Ответ дайте в терминах π.