Какова площадь сечения и поверхности сферы, заданной уравнением x^2+y^2+z^2-2x+6y-4z=11, при пересечении с плоскостью

Содержание: Параметрическое уравнение сферы и ее площадь

Объяснение:
Чтобы найти площадь сечения и поверхности сферы, заданной уравнением x^2+y^2+z^2-2x+6y-4z=11, при пересечении с плоскостью x=4, мы можем использовать параметрическое уравнение сферы и метод проекции.

Сначала, запишем уравнение сферы в параметрической форме. Заметим, что уравнение сферы может быть записано в следующем виде:
(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2, где (a, b, c) - координаты центра сферы, r - радиус сферы.

В нашем случае, уравнение сферы можно переписать в виде:
(x - 1)^2 + (y + 3)^2 + (z - 2)^2 = 10.

Далее, чтобы найти площадь сечения сферы с плоскостью x = 4, мы подставляем значение x = 4 в параметрическое уравнение сферы:
(4 - 1)^2 + (y + 3)^2 + (z - 2)^2 = 10,
или
3^2 + (y + 3)^2 + (z - 2)^2 = 10.

Затем, чтобы найти площадь сечения, мы сразу можем обратиться к круговому уравнению с площадью, так как сечение сферы - это круг.
Площадь круга можно найти по формуле:
S = π * r^2, где r - радиус круга.

В нашем случае, радиус круга можно найти из уравнения сечения сферы, подставив значения x = 4:
3^2 + (y + 3)^2 + (z - 2)^2 = 10,
или
(y + 3)^2 + (z - 2)^2 = 1.

Таким образом, радиус рассеченного круга равен 1, и площадь сечения сферы равна:
S = π * 1^2 = π.

Чтобы найти поверхность сферы, заданной уравнением x^2+y^2+z^2-2x+6y-4z=11, мы можем использовать параметрическую формулу поверхности сферы:
x = a + r * sinθ * cosφ,
y = b + r * sinθ * sinφ,
z = c + r * cosθ,
где (a, b, c) - координаты центра сферы, r - радиус сферы, θ - угол между вектором от центра сферы до точки на поверхности и осью x, φ - угол между противоположным лучом от центра сферы до точки на поверхности и плоскостью xy.

Пример:
1. Площадь сечения сферы с плоскостью x=4 равна π.
2. Параметрическая формула поверхности сферы позволяет находить координаты точек на поверхности сферы.

Совет:
Чтобы лучше понять площадь сечения и поверхности сферы, рекомендуется изучить параметрическое уравнение сферы и его свойства. Также полезно изучить геометрическую интерпретацию параметрического уравнения сферы и методы вычисления площадей и объемов тел.

Ещё задача:
Найдите радиус и площадь сечения сферы, заданной уравнением x^2+y^2+z^2-4x-6y-8z=6, при пересечении с плоскостью z=2.