Какова область определения функции Z, равной 1/(r^2-x^2-y^2)?

Постановка задачи: Найти область определения функции 𝑍, равной 𝑍 = 1/(𝑟^2 − 𝑥^2 − 𝑦^2), где 𝑟, 𝑥 и 𝑦 - это переменные.

Пояснение: Чтобы найти область определения функции 𝑍, нужно определить значения переменных 𝑟, 𝑥 и 𝑦, для которых функция имеет смысл. В данном случае, в знаменателе функции имеется разность 𝑟^2 − 𝑥^2 − 𝑦^2. Заметим, что функция будет неопределенной, если значением под корнем окажется отрицательное число, так как невозможно извлечение квадратного корня из отрицательного числа.

Таким образом, область определения функции 𝑍 будет состоять из тех значений переменных 𝑟, 𝑥 и 𝑦, для которых 𝑟^2 − 𝑥^2 − 𝑦^2 ≥ 0.

Доп. материал:
Пусть 𝑟 = 3, 𝑥 = 1 и 𝑦 = 2. Тогда, чтобы найти область определения функции 𝑍, мы должны убедиться, что значение под корнем в знаменателе неотрицательное:
𝑟^2 − 𝑥^2 − 𝑦^2 = 3^2 − 1^2 − 2^2 = 9 − 1 − 4 = 4 ≥ 0
Таким образом, значение под корнем положительное, и эти значения переменных принадлежат к области определения функции 𝑍.

Совет: Чтобы легче понять область определения функции 𝑍, можно представить это геометрически. Функция представляет собой инверсию точек относительно сферы радиуса 𝑟 с центром в начале координат. Область определения будет всем пространством за пределами этой сферы.

Задание для закрепления: Найдите область определения функции 𝑍, равной 1/(4 − 𝑥^2 − 𝑦^2), где 𝑥 и 𝑦 - это переменные.