Какова длина линий пересечения сферы, если ее диаметр составляет 6 и плоскость проходит через его конец под углом

Тема занятия: Линии пересечения сферы

Инструкция: Чтобы понять длину линий пересечения сферы, необходимо рассмотреть геометрические свойства задачи. Первым шагом определим, какая часть сферы будет видна с плоскости.

Из условия задачи известно, что сфера имеет диаметр 6. Значит, радиус сферы равен половине диаметра, то есть 3.

Поскольку плоскость проходит через конец сферы, она будет пересекать сферу. Но для определения видимой части сферы с плоскости, нам понадобится информация об угле между плоскостью и радиусом, проходящим через точку пересечения.

Угол между плоскостью и радиусом составляет 60 градусов. Этот угол позволяет нам определить, какую часть сферы накрывает плоскость. В данном случае, плоскость пересечет половину сферы (так как 60 градусов - это половина от общего угла 180 градусов в сфере).

Теперь, чтобы найти длину линий пересечения сферы, нужно найти длину половины окружности с радиусом 3. Формула для этого: длина окружности = 2 * π * радиус. Подставляя значения: длина окружности = 2 * π * 3 = 6π.

Таким образом, длина линий пересечения сферы равна 6π.

Совет: Для лучшего понимания геометрических задач, рекомендуется изучить основные понятия и формулы геометрии. Также полезно уметь работать с углами и составлять простые геометрические конструкции.

Практическое задание: Какова будет длина линий пересечения сферы с диаметром 12, если плоскость проходит через конец сферы под углом 45 градусов?

Содержание: Пересечение плоскости и сферы

Разъяснение: Если плоскость проходит через конец диаметра сферы, то она пересекает сферу. Для нахождения длины этой линии пересечения можно воспользоваться геометрическим подходом.

Представим себе, что плоскость и диаметр сферы образуют треугольник. Угол между плоскостью и диаметром составляет 60 градусов. Поскольку диаметр является гипотенузой треугольника, а плоскость проходит через его конец, то сторона треугольника равна половине диаметра, то есть 3.

Теперь воспользуемся теоремой косинусов для расчета длины линии пересечения. Задана гипотенуза треугольника (диаметр сферы), известна сторона (половина диаметра) и угол между ними. По формуле теоремы косинусов:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C),

где c - длина линии пересечения, a и b - длины сторон треугольника, C - угол между ними.

Подставляя известные значения:

c^2 = 3^2 + 3^2 - 2*3*3*cos(60°),
c^2 = 9 + 9 - 18 * 0.5,
c^2 = 9 + 9 - 9,
c^2 = 9.

Таким образом, длина линии пересечения равна 3.

Пример: Возьмем сферу с диаметром 8 и плоскость, проходящую через ее конец под углом 45 градусов. Какова длина линии пересечения?

Совет: Чтобы лучше понять эту задачу, полезно визуализировать себе треугольник, образованный плоскостью и диаметром сферы. Это поможет вам представить геометрическую ситуацию и легче применить теорему косинусов.

Проверочное упражнение: Возьмите сферу с диаметром 12 и плоскость, проходящую через ее центр под углом 30 градусов. Какова длина линии пересечения сферы?