Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника, если его площадь равна 49 корней из 3 2 и один из острых углов

Тема: Длина гипотенузы прямоугольного треугольника

Разъяснение: Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать знание о соотношении сторон прямоугольного треугольника и применить теорему Пифагора. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Дано, что площадь треугольника равна 49 корней из 3\2, что означает, что площадь равна 49 * sqrt(3/2). Мы можем выразить площадь треугольника через длины его сторон следующим образом: площадь = (1/2) * a * b, где a и b - длины катетов.

Кроме того, нам дано, что один из острых углов треугольника равен 60°. Таким образом, мы можем использовать свойства специальных треугольников и заметить, что данный угол соответствует 30-60-90 треугольнику, где отношение длин сторон составляет 1 : sqrt(3) : 2.

Мы имеем систему уравнений: площадь = (1/2) * a * b и b = a * sqrt(3). Составим уравнение:
49 * sqrt(3/2) = (1/2) * a * a * sqrt(3).

Решая это уравнение относительно a, мы получаем a = 7.

Теперь, зная длину одного из катетов, мы можем найти длину гипотенузы, используя теорему Пифагора:
гипотенуза^2 = a^2 + b^2 = 7^2 + (7 * sqrt(3))^2 = 49 + 49 * 3 = 49 * 4 = 196.

Итак, длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна 14.

Пример использования:
Задание: Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника, если его площадь равна 64 корня из 3, а один из острых углов равен 45°?
Ответ: Длина гипотенузы равна 16.

Совет: В данной задаче полезно знать соотношения сторон в специальных треугольниках и теорему Пифагора для нахождения длины гипотенузы прямоугольного треугольника.

Упражнение:
Найдите длину гипотенузы прямоугольного треугольника, если его один из катетов равен 8, а угол между гипотенузой и одним из катетов равен 30°.