Какова длина диагонали параллелепипеда B1D и каков угол между этой диагональю и плоскостью основания?

Тема урока: Диагональ параллелепипеда

Объяснение: Чтобы найти длину диагонали параллелепипеда и угол между этой диагональю и плоскостью основания, мы можем использовать теорему Пифагора и геометрические свойства параллелепипеда.

Пусть B1D - диагональ параллелепипеда, B - одно из вершин основания, а D - противоположная вершина.

Для начала найдем длину диагонали B₁D. Знаем, что все ребра параллелепипеда перпендикулярны друг другу.

Таким образом, B₁D - гипотенуза прямоугольного треугольника, а два других катета - это ребра основания параллелепипеда. Обозначим эти ребра a, b и c.

Применяя теорему Пифагора к этому треугольнику, получаем:

B₁D² = a² + b² + c²

Теперь, чтобы найти угол между B₁D и плоскостью основания, мы можем воспользоваться скалярным произведением векторов. Пусть n - вектор, перпендикулярный плоскости основания, и v - вектор, соединяющий вершины B и D. Тогда угол φ между ними можно найти по следующей формуле:

cos(φ) = (n · v) / (|n| * |v|)

где (n · v) обозначает скалярное произведение векторов, и |n| и |v| — их длины.

Дополнительный материал:
Пусть a = 3, b = 4 и c = 5. Найдем длину диагонали B1D и угол между диагональю и плоскостью основания.

Длина диагонали B1D:
B₁D² = 3² + 4² + 5² = 9 + 16 + 25 = 50
B₁D = √50 ≈ 7,071

Угол между диагональю и плоскостью основания:
Пусть плоскость основания параллелепипеда параллельна плоскости Oxy, тогда n = (0, 0, 1) и v = (3, 4, 5).
n · v = 0 * 3 + 0 * 4 + 1 * 5 = 5
|n| = √(0² + 0² + 1²) = 1
|v| = √(3² + 4² + 5²) = √50 ≈ 7,071

cos(φ) = (5) / (1 * 7,071) ≈ 0,707
φ = arccos(0,707) ≈ 45°

Совет: Чтобы лучше представить себе параллелепипед и его диагональ, можно взять кубик или построить модель параллелепипеда из бумаги. Также полезно знать формулу длины диагонали в прямоугольном треугольнике — теорему Пифагора.

Закрепляющее упражнение:
Параллелепипед имеет ребра a = 6 см, b = 8 см и c = 10 см. Найдите длину диагонали B₁D и угол между диагональю и плоскостью основания. (Ответы округлите до двух знаков после запятой.)