Каков угол между направлением вектора AB и точкой

Содержание: Угол между направлением вектора AB и точкой

Инструкция: Для определения угла между направлением вектора AB и точкой, мы можем использовать понятие скалярного произведения двух векторов. Скалярное произведение определяется следующим образом: если у нас есть два вектора a и b, то их скалярное произведение обозначается как a·b и равняется произведению длин векторов a и b на косинус угла между ними.

Формула для нахождения скалярного произведения двух векторов a и b:

a·b = |a| * |b| * cos(θ),

где |a| и |b| - длины векторов a и b, а θ - угол между ними.

Демонстрация: Пусть вектор AB имеет координаты (3, 4) и точка P имеет координаты (2, 1). Чтобы найти угол между направлением вектора AB и точкой P, мы сначала найдем длину вектора AB и точки P, затем вычислим косинус угла θ с помощью скалярного произведения, и, наконец, найдем угол θ с помощью обратной функции косинуса.

1. Длина вектора AB: |AB| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((3 - 0)^2 + (4 - 0)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5.

2. Длина вектора AP: |AP| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((2 - 0)^2 + (1 - 0)^2) = √(4 + 1) = √5.

3. Скалярное произведение: AP·AB = |AP| * |AB| * cos(θ) = 5 * √5 * cos(θ).

4. Выразим косинус угла θ: cos(θ) = (AP·AB) / (|AP| * |AB|) = 5 * √5 / (5 * √5) = 1.

5. Угол θ: θ = arccos(1) = 0°.

Таким образом, угол между направлением вектора AB и точкой P равен 0°.

Совет: Чтобы лучше понять концепцию угла между вектором и точкой, рекомендуется визуализировать вектор AB и точку P на графике. Это поможет визуально представить расположение вектора и точки, а также понять, как угол может быть определен с помощью скалярного произведения.

Проверочное упражнение: Даны координаты вектора AB (2, 3) и точки P (5, 7). Найдите угол между направлением вектора AB и точкой P.