Каков объем правильной треугольной призмы, у которой площадь боковой поверхности составляет 108 квадратных сантиметров

Тема вопроса: Объем правильной треугольной призмы

Разъяснение:
Правильная треугольная призма представляет собой трехмерное тело с треугольным основанием и боковыми гранями, которые являются равнобедренными треугольниками. Для нахождения объема правильной треугольной призмы необходимо знать площадь боковой поверхности и диагональ боковой грани.

Площадь боковой поверхности можно найти по формуле: S = L * P, где S - площадь боковой поверхности, L - длина боковой грани, P - полупериметр основания. Поскольку треугольник равнобедренный, то длина боковой грани равна стороне основания треугольника.

Диагональ боковой грани наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов, что означает, что это прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной диагонали боковой грани.

Теперь, чтобы найти объем правильной треугольной призмы, используем формулу: V = S * h, где V - объем, S - площадь боковой поверхности, h - высота призмы.

Дополнительный материал:
Дано: площадь боковой поверхности = 108 кв.см, угол наклона диагонали боковой грани = 45 градусов.

1. Найдем длину боковой грани: L = S / P, где S = 108 кв.см, P - полупериметр (длина стороны основания) треугольника.
2. Найдем длину гипотенузы прямоугольного треугольника: D = L / cos(45) где D - длина диагонали боковой грани.
3. Найдем высоту треугольной призмы: h = D * sin(45).
4. Найдем объем треугольной призмы: V = S * h.

Совет:
Для упрощения вычислений площади боковой поверхности и нахождения стороны основания, можно использовать формулу для правильного треугольника: S = (a^2 * sqrt(3)) / 4, где S - площадь треугольника, a - длина стороны основания треугольника.

Задание для закрепления:
Найдите объем правильной треугольной призмы с площадью боковой поверхности 72 квадратных сантиметра и диагональю боковой грани, наклоненной к плоскости основания под углом 30 градусов.

Тема вопроса: Объем правильной треугольной призмы
Описание: Для того чтобы найти объем правильной треугольной призмы, нам нужно знать площадь ее боковой поверхности и угол, под которым наклонена диагональ боковой грани к плоскости основания.

Давайте пошагово решим эту задачу:
1. Вспомним формулу для площади боковой поверхности треугольной призмы: \(S_\text{бп} = \dfrac{1}{2} \times \text{периметр основания} \times \text{высота}\).
2. Закон Пифагора сообщает нам, что в правильном треугольнике \(c^2 = a^2 + b^2\), где \(c\) - гипотенуза, а \(a\) и \(b\) - катеты, поэтому сторона основания треугольной призмы равна \(a = \dfrac{{\text{диагональ боковой грани}}}}{\sqrt{2}}\).
3. Мы можем найти периметр основания призмы, зная сторону основания \(a\) и количество сторон \(n\): \(P_\text{осн} = n \times a\).
4. Теперь нам нужно найти высоту призмы. Для этого разобьем треугольник на два прямоугольных треугольника, используя высоту \(h\). Катет прямоугольных треугольников равен \(a\), а гипотенуза равна \(h\).
5. Так как гипотенуза \(h\) образует угол 45 градусов с плоскостью (основанием) призмы, мы можем воспользоваться тригонометрией и найти \(h\) с помощью формулы \(h = a \times \tan(45^\circ)\).
6. Теперь, когда мы знаем все исходные данные, мы можем подставить значения в формулу для площади боковой поверхности и решить ее для нахождения высоты \(h\): \(108 = \dfrac{1}{2} \times P_\text{осн} \times h\).
7. Наконец, используя формулу для объема треугольной призмы \(V = \text{площадь основания} \times h\), мы можем найти искомый объем.

Демонстрация: Найти объем правильной треугольной призмы, у которой площадь боковой поверхности составляет 108 квадратных сантиметров, а диагональ боковой грани наклонена к плоскости основания под углом 45 градусов.

Совет: При решении задачи не забывайте использовать геометрические и тригонометрические формулы соответствующих фигур и свойство треугольника.

Ещё задача: Для треугольной призмы с площадью боковой поверхности 72 квадратных сантиметров и периметром основания 24 сантиметра, найти ее объем.