Каков объем правильной пирамиды с правильными треугольными боковыми гранями, если известна длина апофемы?

Тема: Объем правильной пирамиды
Описание: Объем правильной пирамиды с правильными треугольными боковыми гранями можно вычислить, зная длину апофемы - это линия, проведенная из вершины пирамиды на плоскость основания, перпендикулярно основанию.

Чтобы найти объем такой пирамиды, нужно знать площадь основания и высоту пирамиды.

Площадь основания правильной треугольной пирамиды можно вычислить с помощью формулы:

\[S = \frac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}\]

где \(a\) - длина стороны треугольника.

Чтобы найти высоту пирамиды, нужно знать длину апофемы и длину стороны треугольника:

\[h = \sqrt{a_{\rm f}^2 - \frac{a^2}{4}}\]

где \(a_{\rm f}\) - длина апофемы, \(a\) - длина стороны треугольника.

Тогда объем пирамиды можно выразить следующей формулой:

\[V = \frac{1}{3}S \times h\]

где \(S\) - площадь основания, \(h\) - высота пирамиды.

Пример: Предположим, у нас есть правильная пирамида с треугольными боковыми гранями, у которой длина апофемы \(a_{\rm f} = 6\) и длина стороны треугольника \(a = 4\). Мы можем использовать формулы, описанные выше, чтобы вычислить площадь основания \(S\), высоту \(h\) и, в конечном итоге, объем пирамиды \(V\).

Совет: Чтобы лучше понять формулы и как их использовать, рекомендуется изучить каждый шаг вычислений отдельно. Начните с вычисления площади основания, затем найдите высоту пирамиды, а затем используйте найденные значения для вычисления объема пирамиды.

Проверочное упражнение: Для правильной пирамиды с треугольными боковыми гранями, у которой длина апофемы \(a_{\rm f} = 8\) и длина стороны треугольника \(a = 6\), найдите объем пирамиды.

Тема урока: Объем пирамиды с правильными треугольными боковыми гранями

Описание:

Правильная пирамида с правильными треугольными боковыми гранями - это пирамида, у которой основание является правильным треугольником, а все боковые грани также являются правильными треугольниками.

Чтобы найти объем такой пирамиды, мы должны знать длину апофемы пирамиды - это расстояние от центра основания до середины одной из боковых граней.

Формула для вычисления объема пирамиды с правильными треугольными боковыми гранями выглядит следующим образом:

V = (1/3) * S * h,

где V - объем пирамиды, S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Площадь основания пирамиды равна S = (a^2 * sqrt(3)) / 4,

где a - длина стороны основания.

Высота пирамиды h связана с длиной апофемы a с помощью формулы h = sqrt(ap - a^2),

где ap - квадрат апофемы.

Таким образом, основываясь на известной длине апофемы, можно вычислить объем правильной пирамиды с правильными треугольными гранями.

Демонстрация:
Пусть длина апофемы пирамиды равна 6 см.

Для вычисления объема пирамиды, мы сначала найдем длину стороны основания, используя формулу a = (2 * ap) / sqrt(3).
a = (2 * 6) / sqrt(3) ≈ 6.93 см.

Затем мы можем вычислить площадь основания:
S = (a^2 * sqrt(3)) / 4 = (6.93^2 * sqrt(3)) / 4 ≈ 11.98 см^2.

Наконец, мы можем подставить значения в формулу объема пирамиды:
V = (1/3) * S * h = (1/3) * 11.98 * h.

Все шаги вычислений должны быть указаны подробно, чтобы учащийся мог легко следовать им.

Совет:
Для лучшего понимания этой темы, рекомендуется просмотреть визуализации правильных пирамид с правильными треугольными гранями и изучить свойства этих фигур. Также полезно ознакомиться с доказательствами формул, чтобы понять, откуда они происходят.

Упражнение:
Данные длина апофемы правильной пирамиды равна 8 см. Найдите объем этой пирамиды с помощью приведенных выше формул и указанных шагов.