Каков объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой боковое ребро и плоскость основания образуют угол 60°

Задача: Каков объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой боковое ребро и плоскость основания образуют угол 60°, а радиус вписанной окружности в основание составляет r?

Решение: Для решения этой задачи нам понадобятся формулы для объема пирамиды и площади основания.

1. Площадь основания пирамиды:
Для правильной четырехугольной пирамиды, площадь основания можно вычислить с помощью формулы:
S = (a^2 * √3) / 4,
где a - длина стороны основания.

2. Высота пирамиды:
Высота пирамиды может быть найдена с помощью теоремы Пифагора:
h = √(b^2 - r^2),
где b - длина бокового ребра пирамиды.

3. Объем пирамиды:
Объем пирамиды можно вычислить с помощью формулы:
V = (S * h) / 3.

Итак, для данной задачи у нас есть угол 60° и радиус вписанной окружности в основание r.
Первым делом нужно найти длину стороны основания a, рассчитав ее по формуле:
a = 2 * r * tan(30°).

Затем находим площадь основания S по формуле:
S = (a^2 * √3) / 4.

После этого находим высоту h по формуле:
h = √(b^2 - r^2).

Наконец, можем вычислить объем пирамиды V по формуле:
V = (S * h) / 3.

Пример:
Дано: r = 4 см
Используя формулы, найдем:
a = 2 * 4 * tan(30°) ≈ 4.62 см
S = (4.62^2 * √3) / 4 ≈ 8.59 см^2
h = √(b^2 - 4^2)
V = (8.59 * h) / 3

Совет: Для лучшего понимания задачи и лучших результатов, было бы полезно освежить знание тригонометрических функций и формул для площади и объема фигур. Также важно убедиться, что вы правильно понимаете условие задачи и используете соответствующие формулы.

Задание для закрепления: Если угол между боковым ребром и плоскостью основания составляет 45°, а радиус вписанной окружности в основание равен 5 см, найдите объем пирамиды.