Каков косинус угла между векторами m, равными 5a+b, и n, равными 2a-b, если a является перпендикуляром для b и a*b=1?

Тема: Косинус угла между векторами

Пояснение:

Чтобы найти косинус угла между векторами m и n, мы можем использовать формулу косинуса:

cos θ = (m · n) / (|m| * |n|),

где m · n представляет скалярное произведение векторов m и n, а |m| и |n| - модули (длины) этих векторов.

Для заданных векторов m = 5a + b и n = 2a - b, нам необходимо вычислить скалярное произведение m · n и модули векторов m и n.

1. Вычислим скалярное произведение m · n:

m · n = (5a + b) · (2a - b).

раскрывая скобки и используя свойство скалярного произведения,
m · n = 10(a · a) + 5(a · -b) + 2(b · a) + (-b · -b).

учитывая, что a является перпендикуляром для b (a · b = 0),

m · n = 10(a · a) + 5(0) + 2(0) + (-b · -b).

получаем m · n = 10(a · a) + b · b.

2. Вычислим модули векторов m и n:

|m| = sqrt((5a)^2 + b^2) = sqrt(25(a · a) + b^2).

|n| = sqrt((2a)^2 + (-b)^2) = sqrt(4(a · a) + b^2).

3. Подставим данные обратно в формулу косинуса:

cos θ = [(10(a · a) + b · b)] / [sqrt(25(a · a) + b^2) * sqrt(4(a · a) + b^2)].

Пример использования:

Для заданных векторов m = 5a + b и n = 2a - b, где a является перпендикуляром для b и a · b = 1, мы должны вычислить косинус угла между ними.

Совет:

Перед решением задачи удостоверьтесь, что вы понимаете основы скалярного произведения векторов и вычисления модулей векторов. Это позволит вам более легко применить эти концепции к данной задаче.

Упражнение:

Вычислите косинус угла между векторами p = 3a - 2b и q = -4a + 5b при известных условиях: a · b = -2, |a| = 3 и |b| = 2.