Какое уравнение следует составить для окружности, которая проходит через точки a(3; 1) и и(-1; 3), а ее центр находится

Тема урока: Уравнение окружности

Инструкция:

Уравнение окружности можно составить, зная координаты центра (h, k) и радиуса (r). Нам дано, что центр окружности находится на прямой с уравнением 3x - y - 2 = 0. Чтобы найти центр окружности, мы должны найти точку пересечения этой прямой с прямой, проходящей через заданные точки a(3, 1) и b(-1, 3).

Сначала найдем уравнение прямой, проходящей через точки a и b. Используем формулу для нахождения уравнения прямой, зная две точки:

Уравнение прямой: (y - y1) = ((y2 - y1) / (x2 - x1)) * (x - x1)

Вставляем значения для точек a и b:
(y - 1) = ((3 - 1) / (-1 - 3)) * (x - 3)
(y - 1) = (-1 / 2) * (x - 3)
2y - 2 = -1x + 3
x + 2y = 5

Теперь найдем точку пересечения этой прямой с прямой 3x - y - 2 = 0. Для этого решим систему уравнений:
x + 2y = 5
3x - y = 2

Решаем систему методом уравнения:
3x - 6y = 15
3x - y = 2

Вычитаем второе уравнение из первого:
5y = 13
y = 13/5

Подставляем значение y в одно из уравнений для нахождения x:
x + 2(13/5) = 5
x + 26/5 = 5
x = 5 - 26/5
x = 25/5 - 26/5
x = -1/5

Таким образом, центр окружности имеет координаты (-1/5, 13/5).

Теперь, чтобы найти радиус окружности, нужно использовать расстояние между центром окружности и одной из заданных точек. Используем формулу для расстояния между двумя точками:
r = √( (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 )

Вставляем значения точек a и центра окружности:
r = √( (3 - (-1/5))^2 + (1 - (13/5))^2 )
r = √( (3 + 1/5)^2 + (1 - 13/5)^2 )
r = √( (16/5)^2 + ((-8)/5)^2 )
r = √( (256/25) + (64/25) )
r = √( 320/25 )
r = √( 64/5 )
r = 8/√5

Таким образом, уравнение окружности будет иметь вид:
(x - (-1/5))^2 + (y - 13/5)^2 = (8/√5)^2

Дополнительный материал:
Уравнение окружности, проходящей через точки a(3, 1) и b(-1, 3), и с центром находящимся на прямой 3x - y - 2 = 0, будет иметь следующий вид:
(x + 1/5)^2 + (y - 13/5)^2 = 64/5

Совет:
При решении подобных задач, обратите внимание на то, что уравнение окружности имеет специфический вид с квадратами и радиусом, а также на то, что точка находится на прямой, значит, ее координаты также должны удовлетворять уравнению прямой. Обратите внимание на правильный порядок действий и не забудьте проверить свой ответ на логическую последовательность.

Задача на проверку:
Точки P(4, 6) и Q(-2, -3) лежат на окружности с центром на прямой 2x + y = 7. Найдите уравнение этой окружности.