Какое уравнение определяет сферу, если точки A (4; –1; –3) и B (0; 3; –1) являются концами ее диаметра?

Тема занятия: Уравнение сферы

Инструкция: Для определения уравнения сферы, необходимо знать координаты двух концов ее диаметра - точки A и B.

Сфера - это геометрическое место всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от центра сферы. Длина диаметра сферы равняется удвоенному радиусу. Зная координаты двух точек A и B, мы можем найти центр сферы - это среднее арифметическое координат двух точек.

Шаги для определения уравнения сферы:

1. Найдите координаты центра сферы, используя среднее арифметическое координат точек A и B.

Центр сферы (Cx, Cy, Cz) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2, (z1 + z2) / 2) = ((4 + 0) / 2, (-1 + 3) / 2, (-3 + (-1)) / 2) = (2, 1, -2)

2. Найдите радиус сферы, используя расстояние между центром сферы и любой из точек A или B.

Радиус s = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) = √((0 - 2)^2 + (3 - 1)^2 + (-1 - (-2))^2) = √(4 + 4 + 1) = √9 = 3

3. Запишите уравнение сферы в общем виде.

Уравнение сферы: (x - Cx)^2 + (y - Cy)^2 + (z - Cz)^2 = r^2, где (Cx, Cy, Cz) - координаты центра сферы, r - радиус сферы.

Подставляя полученные значения, получаем: (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = 3^2, или сокращенно: (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = 9.

Пример: Найдите уравнение сферы с концами диаметра в точках A(4, -1, -3) и B(0, 3, -1).

Совет: Для более легкого понимания уравнения сферы, рекомендуется ознакомиться со сферической геометрией и формулами расстояний в пространстве.

Дополнительное упражнение: Найдите уравнение сферы, если точки C(1, 2, 4) и D(5, -3, 6) являются концами ее диаметра.