Какое расстояние от точки B(2;4;5) до плоскости, проходящей через точку M(2;-1;-2) перпендикулярно вектору n=-4+12j-3k?

Предмет вопроса: Расстояние от точки до плоскости в трехмерном пространстве

Объяснение: Чтобы найти расстояние от точки до плоскости в трехмерном пространстве, мы можем использовать формулу:

d = |(A * x₀ + B * y₀ + C * z₀ + D)| / √(A² + B² + C²),

где (x₀, y₀, z₀) - координаты точки, A, B и C - координаты нормального вектора плоскости, а D - свободный член уравнения плоскости.

В данной задаче, точка B имеет координаты (2, 4, 5), плоскость проходит через точку M с координатами (2, -1, -2), и нормальный вектор плоскости n равен (-4, 12, -3).

Теперь, давайте найдем расстояние, подставив значения в формулу:

d = |((-4 * 2) + (12 * 4) + (-3 * 5) + D)| / √((-4)² + 12² + (-3)²),

где D - свободный член уравнения плоскости.

Чтобы найти D, мы можем использовать уравнение плоскости и подставить координаты точки M:

(-4 * 2) + (12 * -1) + (-3 * -2) + D = 0.

Решая это уравнение, мы найдем значение D.

Например: Найдите расстояние от точки B(2;4;5) до плоскости, проходящей через точку M(2;-1;-2) перпендикулярно вектору n=-4+12j-3k.

Совет: Чтобы лучше понять эту тему, важно запомнить формулу для расстояния от точки до плоскости в трехмерном пространстве: d = |(A * x₀ + B * y₀ + C * z₀ + D)| / √(A² + B² + C²). Также полезно знать, что нормальный вектор плоскости перпендикулярен самой плоскости.

Закрепляющее упражнение: Найдите расстояние от точки C(3, 2, -1) до плоскости, проходящей через точку P(-2, 1, 4) и имеющей нормальный вектор n(2, -3, 5).