Какое максимальное значение имеет функция y=x/(81+x2) на положительной полуоси [0;+∞)? Где находятся стационарные точки

Суть вопроса: Максимальное значение функции y=x/(81+x^2) на положительной полуоси [0;+∞) и стационарные точки функции

Инструкция:
Для того чтобы найти максимальное значение функции y на положительной полуоси [0;+∞), мы должны найти критические точки функции и проверить значения функции в этих точках и на границе интервала.

Сначала найдем производную функции y по переменной x и приравняем ее к нулю, чтобы найти стационарные точки функции. Так как функция содержит дробь, мы воспользуемся правилом дифференцирования частного:

y"(x) = (x^2 - 81)" / (81 + x^2)^2

Чтобы найти значение x^2 - 81, мы заменим y"(x) на 0:

x^2 - 81 = 0

Это уравнение можно решить, найдя корни. В данном случае, его корни равны x = -9 и x = 9. Таким образом, у нас две стационарные точки функции.

Затем мы должны проверить значения функции y в этих точках и на границе интервала [0; +∞). Для этого подставим значения x в исходную функцию:

y(0) = 0 / (81 + 0^2) = 0

y(9) = 9 / (81 + 9^2) ≈ 0.096

y(-9) = -9 / (81 + (-9)^2) ≈ -0.096

Таким образом, наши значения функции в стационарных точках x = -9 и x = 9 примерно равны -0.096 и 0.096 соответственно. На границе интервала [0;+∞) значение функции равно 0.

Следовательно, максимальное значение функции y=x/(81+x^2) на положительной полуоси [0;+∞) равно приблизительно 0.096, и эта точка достигается при x = 9.

Демонстрация:
Найдите максимальное значение функции y=x/(81+x^2) на положительной полуоси [0;+∞).

Совет:
Для решения этой задачи, помните, что критические точки функции соответствуют значениям x, при которых производная функции равна нулю. Кроме того, не забывайте проверить значения функции в этих точках и на границе интервала, чтобы убедиться, что найденная точка является максимальным значением.

Закрепляющее упражнение:
Найдите минимальное значение функции y = (x^2 - 4x + 3) / (x - 2) на интервале (-∞; 2) и определите точку, в которой это значение достигается.