Какие значения коэффициента c приводят к тому, что прямая и окружность пересекаются (как правило) в одной точке (прямая

Тема: Уравнение окружности и прямой

Разъяснение: Для определения значений коэффициента c, при которых прямая и окружность пересекаются в одной точке или прямая касается окружности, мы можем использовать уравнение окружности и уравнение прямой.

Уравнение окружности имеет следующий вид: (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, где (a,b) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

Уравнение прямой можно записать в виде: y = mx + c, где m - угловой коэффициент прямой, c - свободный член.

Когда прямая и окружность пересекаются (прямая касается окружности), мы имеем два возможных случая:

1. В точке пересечения уравнение окружности и прямой должны иметь одно решение.

2. В точке касания уравнение окружности и прямой должны иметь решение кратности два.

Для случая 1 (одно решение) коэффициенты должны удовлетворять следующему условию: D = (m * a - b + c)^2 - (m^2 + 1)(a^2 + b^2 - r^2) = 0.

Для случая 2 (касание) коэффициенты должны удовлетворять следующему условию: D = (m * a - b + c)^2 - (m^2 + 1)(a^2 + b^2 - r^2) = 0 и r * |m| = 1.

Запишем значения коэффициента c, при которых прямая и окружность пересекаются (как правило) в одной точке (прямая касается окружности), в возрастающем порядке без пропусков через точку с запятой (;):

c = (m * a - b) + sqrt((m^2 + 1)(a^2 + b^2 - r^2)) ; (m * a - b) - sqrt((m^2 + 1)(a^2 + b^2 - r^2))

Пример: Пусть у нас есть окружность с центром в точке (2, 3) и радиусом 4, и прямая, заданная уравнением y = 2x + 5. Чему равны значения коэффициента c, при которых прямая и окружность пересекаются или касаются?

Рекомендация: Для более легкого понимания и решения подобных задач, рекомендуется знакомиться с алгоритмами решений уравнений окружностей и прямых, а также с геометрическими свойствами пересечения и касания.

Задание: Для окружности с центром в точке (-1, 2) и радиусом 3 и прямой, заданной уравнением y = -0.5x + 4. Запишите значения коэффициента c, при которых прямая и окружность пересекаются или касаются в возрастающем порядке без пропусков через точку с запятой (;).