Какие из векторов m=2a-b+c, n=-a+b-2c, p=a+2b+c, k=3a+b+2c являются компланарными? Опишите связь между ними. (Приведите

Имя: Компланарность векторов

Описание: Четыре вектора m, n, p и k будут компланарными, если они лежат в одной плоскости. Чтобы определить, являются ли эти векторы компланарными, мы можем использовать метод определителей.

Итак, у нас есть векторы m=2a-b+c, n=-a+b-2c, p=a+2b+c и k=3a+b+2c. Мы можем записать их в виде матрицы:

| 2  -1  1 |

| -1  1  -2 |

| 1   2   1 |

| 3   1   2 |

Теперь возьмем определитель этой матрицы:

D = | 2  -1  1 |

      -1  1  -2 |

       1   2   1 |

Вычислим этот определитель:

D = 2(1*1 - 2*2) - (-1)(-1*1 - 2*1) + 1(-1*2 - 1*-1)
D = 2(-3) - (-1)(-1) + 1(-2)
D = -6 + 1 -2
D = -7

Если определитель D равен нулю, то векторы m, n, p и k компланарны. В нашем случае D = -7, что не равно нулю. Поэтому векторы m, n, p и k не являются компланарными.

Демонстрация:
Здесь дана задача о векторах m, n, p и k, и нужно определить, являются ли они компланарными. Используя метод определителей, мы находим, что определитель D не равен нулю, что означает, что векторы m, n, p и k не являются компланарными.

Совет:
Если вы хотите лучше понять компланарность векторов, рекомендуется ознакомиться с геометрическим значением определителя. Когда определитель равен нулю, векторы компланарны и лежат в одной плоскости. Если определитель не равен нулю, векторы не компланарны и не лежат в одной плоскости.

Задание:
Даны векторы a = (1, 2, 3), b = (4, -1, 2) и c = (-1, 0, 5). Определите, являются ли они компланарными.

Тема занятия: Векторы и компланарность

Объяснение: Для определения того, являются ли данные векторы компланарными или нет, нам нужно проверить, лежат ли они в одной плоскости. Для этого мы можем использовать линейную комбинацию векторов и установить, существуют ли такие числа (коэффициенты), которые будут удовлетворять условию, что линейная комбинация равна нулевому вектору.

Для данной задачи, давайте запишем данные векторы в виде системы уравнений:
m=2a-b+c → 2a-b+c-m=0
n=-a+b-2c → -a+b-2c-n=0
p=a+2b+c → a+2b+c-p=0
k=3a+b+2c → 3a+b+2c-k=0

Таким образом, нам нужно установить, существуют ли такие значения a, b и c, которые удовлетворяют этой системе уравнений. Для этого можно использовать, например, метод Гаусса или другие методы решения системы линейных уравнений.

Пример: Выпишем данные векторы в виде системы уравнений:
2a-b+c-m=0
-a+b-2c-n=0
a+2b+c-p=0
3a+b+2c-k=0

Совет: При решении этой задачи рекомендуется использовать метод Гаусса для решения системы уравнений. Это позволит нам легко определить, являются ли данные векторы компланарными.

Закрепляющее упражнение: Решите систему уравнений, чтобы определить, являются ли данные векторы компланарными.