Какие должны быть радиус и высота открытого цилиндрического бака объемом 32,768π, чтобы минимизировать использование

Предмет вопроса: Минимизация использования материала в цилиндрическом баке

Разъяснение: Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти радиус и высоту цилиндрического бака, которые минимизируют использование материала. Для этого мы должны определить, какими свойствами должен обладать такой бак.

Объем цилиндра можно рассчитать по формуле: V = πr²h, где V - объем, r - радиус основания, а h - высота бака.
В задаче нам дан объем бака, равный 32,768π (мы можем игнорировать π в расчетах, так как оно встречается в обоих частях уравнения).

Используя данную формулу для объема, мы можем подставить значение, чтобы получить следующее уравнение: 32,768 = r²h.

Теперь нам нужно минимизировать использование материала, что означает, что мы должны минимизировать поверхность бака. Поверхность бака можно рассчитать по формуле: S = 2πrh + 2πr².

С помощью метода подстановки мы можем заменить h в уравнении поверхности, используя значение r из уравнения объема: S = 2πr(32,768/r) + 2πr².

Теперь у нас есть выражение для поверхности бака, зависящее только от одной переменной - радиуса r. Чтобы минимизировать поверхность, мы можем взять производную этой функции по r, приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение, чтобы найти оптимальное значение радиуса.

Продолжение задачи и решение с использованием шагов и чисел можно увидеть в примере использования.

Демонстрация:
Задача: Какие должны быть радиус и высота открытого цилиндрического бака объемом 32,768π, чтобы минимизировать использование материала? Радиус основания цилиндра равен: ?
Шаги:
1. Используем формулу объема цилиндра: V = πr²h, где V = 32,768π.
2. Подставим значение V в уравнение: 32,768π = r²h.
3. Разрешим уравнение относительно h: h = (32,768π)/(r²).
4. Используем формулу поверхности цилиндра: S = 2πrh + 2πr².
5. Подставим значение h в уравнение поверхности: S = 2πr((32,768π)/(r²)) + 2πr².
6. Упростим уравнение поверхности и получим S = (65,536π)/r + 2πr².
7. Найдем производную функции S по r: dS/dr = -65,536π/r² + 4πr.
8. Приравняем полученное выражение к нулю и решим уравнение: -65,536π/r² + 4πr = 0.
9. Решим полученное уравнение для r и найдем оптимальное значение радиуса.
10. Подставим найденное значение радиуса r в уравнение h = (32,768π)/(r²) и найдем соответствующую высоту h.
11. Полученные значения радиуса и высоты будут оптимальными для минимизации использования материала.

Совет: Для лучшего понимания этой задачи, полезно знать, что минимальная поверхность цилиндра достигается при равенстве радиуса и высоты. С этим знанием вы сможете проверить правильность решения.

Дополнительное задание: Какие должны быть радиус и высота цилиндрического бака объемом 100π, чтобы минимизировать использование материала? Радиус основания цилиндра равен: ? Высота цилиндра составляет: ?