Как найти угол между прямыми ab1 на кубе abcda1b1c1d1, используя метод координат?

Тема: Нахождение угла между прямыми на кубе с использованием метода координат

Пояснение: Для нахождения угла между прямыми ab1 на кубе abcda1b1c1d1, используя метод координат, мы можем воспользоваться понятием векторов и их скалярного произведения.

1. Определите координаты точек a, b и b1. Предположим, что координаты точки a - (x1, y1, z1), точки b - (x2, y2, z2), и точки b1 - (x3, y3, z3).

2. Постройте векторы ab = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) и ab1 = (x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1).

3. Вычислите скалярное произведение этих векторов, используя формулу: ab · ab1 = (x2 - x1)(x3 - x1) + (y2 - y1)(y3 - y1) + (z2 - z1)(z3 - z1).

4. Затем найдите длины этих векторов: |ab| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) и |ab1| = √((x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2 + (z3 - z1)^2).

5. Используя формулу cos(θ) = (ab · ab1) / (|ab| * |ab1|), найдите значение косинуса угла между прямыми ab1.

6. Наконец, найдите угол между прямыми, используя формулу θ = arccos(cos(θ)).

Доп. материал: Пусть a (-1, 0, 2), b (3, 2, -1) и b1 (2, -1, 4) - координаты точек на кубе. Найдите угол между прямыми ab1.

Решение:
1. ab = (3 - (-1), 2 - 0, -1 - 2) = (4, 2, -3).
2. ab1 = (2 - (-1), -1 - 0, 4 - 2) = (3, -1, 2).
3. ab · ab1 = (4 * 3) + (2 * -1) + (-3 * 2) = 12 - 2 - 6 = 4.
4. |ab| = √((4^2) + (2^2) + (-3^2)) = √(16 + 4 + 9) = √29.
|ab1| = √((3^2) + (-1^2) + (2^2)) = √(9 + 1 + 4) = √14.
5. cos(θ) = (ab · ab1) / (|ab| * |ab1|) = 4 / (√29 * √14) ≈ 0.3045.
6. θ = arccos(0.3045) ≈ 1.2663 радиан или ≈ 72.59 градусов.

Совет: Перед вычислениями внимательно проверьте, что вы правильно определили координаты точек и правильно расставили знаки при вычислениях скалярного произведения и формуле косинуса.

Дополнительное упражнение: Найдите угол между прямыми a1b и b1c на кубе abcda1b1c1d1 со следующими координатами:
a1(1, -2, 3), b(4, 0, -1), b1(3, -1, 4), c(0, -3, 2).