Как можно доказать, что ребро МА перпендикулярно плоскости в тетраэдре МАВС?

Тема занятия: Доказательство перпендикулярности ребра МА к плоскости в тетраэдре МАВС

Пояснение:

Чтобы доказать перпендикулярность ребра МА к плоскости в тетраэдре МАВС, мы можем воспользоваться определением перпендикулярности. Ребро МА будет перпендикулярно плоскости, если оно перпендикулярно любой линии, лежащей в этой плоскости.

Предположим, что в плоскости тетраэдра АВС существует линия, проведенная в плоскости, перпендикулярно линии МА. Определим точки Р и Н на этой линии, такие что Р лежит на ребре МВ, а Н не на ребре МВ. Тогда вектор РН будет лежать в плоскости и будет перпендикулярен линии МА.

Рассмотрим треугольник МПН. Расстояние от М до плоскости АВС равно расстоянию от линии МА до плоскости АВС, так как плоскости, параллельные, имеют одинаковые нормальные векторы. Расстояние от М до плоскости АВС равно нулю, так как ребро МА лежит в этой плоскости.

Но с другой стороны, по построению, РН перпендикулярно линии МА. Значит, МПН - прямой треугольник, у которого один из углов прямой. Это значит, что ребро МА перпендикулярно плоскости АВС.

Например:
Докажите, что ребро МА перпендикулярно плоскости в тетраэдре МАВС.

Совет:
Для лучшего понимания доказательства перпендикулярности, рекомендуется проработать понятие линий, плоскостей и векторов в трехмерном пространстве.

Задание для закрепления:
В тетраэдре АВС ребро АВ перпендикулярно плоскости, а ребро ВС перпендикулярно к плоскости. Докажите, что ребро АС также перпендикулярно плоскости.