Как можно активировать наибольшее количество лампочек на батискафе? Когда нажимаю на одну лампочку, остальные изменяют

Предмет вопроса: Задача о лампочках на батискафе

Описание: Для решения этой задачи, давайте представим батискаф, в котором установлены N лампочек, пронумерованных от 1 до N. Когда вы нажимаете на одну лампочку, все остальные меняют своё состояние: если лампочка была выключена, она включается, и наоборот.

Итак, чтобы активировать наибольшее количество лампочек, нужно правильно определить моменты, когда на них следует нажимать. Мы заметим, что состояние каждой лампочки изменяется каждый раз, когда на нее нажимают, а это происходит только в случае, если ее номер делится на число нажатий. То есть, если номер лампочки имеет M делителей, то она будет изменять свое состояние M раз. Лампочки, у которых число делителей является квадратом некоторого числа, будут менять свое состояние четное количество раз, потому что каждый делитель будет иметь свою пару. Таким образом, чтобы максимизировать количество активированных лампочек, нужно нажимать только на лампочки с номерами, являющимися квадратами.

Демонстрация: Предположим, что на батискафе установлено 8 лампочек. Чтобы активировать наибольшее количество лампочек, нужно нажать на лампочки с номерами 1, 4 и 8, потому что они являются квадратами чисел 1, 2 и 8.

Совет: Представление чисел в виде произведения их простых делителей может помочь в определении количества делителей и поиске квадратов чисел.

Закрепляющее упражнение: В батискафе установлено 16 лампочек. Какие лампочки нужно нажать, чтобы активировать наибольшее возможное количество лампочек?