Как можем построить перпендикуляр n к плоскости Σ, проходящий через точку L? Как построить точку M, которая будет

Тема занятия: Построение перпендикуляра к плоскости через заданную точку

Инструкция: Чтобы построить перпендикуляр к плоскости Σ, проходящий через заданную точку L, мы можем использовать следующие шаги:

1. Найдите вектор нормали к плоскости Σ. Для этого можно использовать нормальную форму уравнения плоскости или данные о наклонных прямых.
2. Постройте прямую, проходящую через точку L и параллельную вектору нормали к плоскости Σ. Эта прямая будет прямой, соединяющей точку L с плоскостью.
3. Найдите точку пересечения этой прямой с плоскостью Σ. Обозначим эту точку как М. Так как линия перпендикулярна к плоскости, она будет пересекаться с плоскостью под прямым углом.
4. Точка M будет являться симметричной точкой L относительно плоскости Σ.

Дополнительный материал: Дана плоскость Σ: 2x + 3y - z = 9 и точка L(4, -1, 3). Постройте перпендикуляр к плоскости Σ через точку L и найдите симметричную точку M относительно плоскости Σ.

Решение:
1. Вектор нормали к плоскости Σ: (2, 3, -1).
2. Параллельная прямая, проходящая через точку L(4, -1, 3):
x = 4 + 2t,
y = -1 + 3t,
z = 3 - t.
3. Найдем точку пересечения этой прямой с плоскостью Σ:
Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости:
2(4 + 2t) + 3(-1 + 3t) - (3 - t) = 9
Расположим уравнение относительно t:
2t - 7 = 0
t = 7/2
Подставим значение t в параметрические уравнения прямой, чтобы найти точку М:
x = 4 + 2(7/2) = 11,
y = -1 + 3(7/2) = 10.5,
z = 3 - 7/2 = -0.5.
Точка M: (11, 10.5, -0.5).
4. Точка М является симметричной точкой L относительно плоскости Σ.

Совет: При решении этой задачи помните о том, что перпендикуляр к плоскости должен пересекаться с ней под прямым углом. Используйте параметрическое уравнение прямой, чтобы найти точку пересечения. Также можно применить методы аналитической геометрии для более точных вычислений.

Проверочное упражнение: Дана плоскость Σ: 3x - 2y + 4z = 5 и точка L(-1, 2, 0). Постройте перпендикуляр к плоскости Σ через точку L и найдите симметричную точку M относительно плоскости Σ.