Исходный текст: Дано: а(4; 0), в(12; -2), с(5; -9). для треугольника авс найдите: 1) его периметр; 2) длину медианы

Треугольник АВС - нахождение периметра, длины медианы и координат центра описанной окружности

Периметр треугольника:
Чтобы найти периметр треугольника АВС, нужно найти длины всех его сторон и сложить их вместе.
Для этого используем формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат: d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
Длина стороны АВ:
d₁ = √((12 - 4)² + (-2 - 0)²)
d₁ = √(8² + (-2)²)
d₁ = √(64 + 4)
d₁ = √68
d₁ ≈ 8.246

Длина стороны ВС:
d₂ = √((5 - 12)² + (-9 - (-2))²)
d₂ = √((-7)² + (-7)²)
d₂ = √(49 + 49)
d₂ = √98
d₂ ≈ 9.899

Длина стороны СА:
d₃ = √((5 - 4)² + (-9 - 0)²)
d₃ = √(1² + (-9)²)
d₃ = √(1 + 81)
d₃ = √82
d₃ ≈ 9.055

Периметр треугольника АВС:
P = d₁ + d₂ + d₃
P ≈ 8.246 + 9.899 + 9.055
P ≈ 27.2

Длина медианы AN:
Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину с противоположной стороной и пересекающийся в середине этой стороны.
Чтобы найти длину медианы AN, нужно найти середину стороны ВС и вычислить расстояние от точки А до середины ВС.
Середина стороны ВС имеет координаты: (5 + 12)/2; (-9 - 2)/2 = 8.5; -5.5

Длина медианы AN:
d₄ = √((8.5 - 4)² + (-5.5 - 0)²)
d₄ = √(4.5² + (-5.5)²)
d₄ = √(20.25 + 30.25)
d₄ = √50.5
d₄ ≈ 7.108

Координаты центра и радиус описанной окружности:
Задача на поиск центра и радиуса описанной окружности треугольника АВС.
Центр описанной окружности является пересечением перпендикуляров, восстановленных на середине каждой стороны треугольника.
Чтобы найти координаты центра описанной окружности, нужно найти середины двух сторон и решить систему уравнений.
Середина стороны АВ: (4 + 12)/2; (0 - 2)/2 = 8; -1
Середина стороны ВС: (5 + 12)/2; (-9 - 2)/2 = 8.5; -5.5

Уравнение прямой, проходящей через две точки: (y - y₁)/(y₂ - y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁)

Уравнения перпендикуляров:
- Отношение коэффициентов наклонов перпендикулярных прямых: k₁ * k₂ = -1

Уравнение перпендикуляра к AB:
(y - (-1))/(8 - 8) = (x - 8)/(8 - 4)
(y + 1)/(0) = (x - 8)/(4)
y = -x + 9

Уравнение перпендикуляра к BC:
(y - (-5.5))/(8.5 - 8.5) = (x - 8.5)/(8.5 - 8)
(y + 5.5)/(0) = (x - 8.5)/(0.5)
(y + 5.5) * 2 = (x - 8.5)
2y + 11 = x - 8.5
x = 2y + 19.5

Решение системы уравнений:
- Одинаковые значения x и y являются координатами центра описанной окружности
- Чтобы найти радиус окружности, рассчитаем расстояние от центра до любой вершины треугольника.

Решение: x = 2y + 19.5
y = -x + 9

Подставляем значения y из первого уравнения во второе:
x = 2(-x + 19.5) + 19.5
x = -2x + 39 + 19.5
3x = 58.5
x = 19.5

Подставляем значения x в первое уравнение:
y = -19.5 + 9
y = -10.5

Координаты центра описанной окружности: (19.5; -10.5)

Радиус описанной окружности:
d₅ = √((19.5 - 4)² + (-10.5 - 0)²)
d₅ = √(15.5² + (-10.5)²)
d₅ = √(240.25 + 110.25)
d₅ = √350.5
d₅ ≈ 18.690

Доп. материал:
1) Периметр треугольника АВС: P ≈ 27.2
2) Длина медианы AN: d₄ ≈ 7.108
3) Координаты центра описанной окружности: (19.5; -10.5), радиус окружности: d₅ ≈ 18.690

Советы:
- Проверьте ваши расчеты несколько раз, чтобы избежать ошибок.
- Используйте графическое представление для визуализации треугольника и его характеристик.

Закрепляющее упражнение:
Найдите периметр треугольника, длину медианы и координаты центра описанной окружности, если даны вершины треугольника: D(2; 4), E(-3; -1), F(5; 7).