In parallelogram ABCD, with sides in the ratio of 7:3, the angle bisectors of angles BAD and ADC are drawn

Тема вопроса: Аплликативная геометрия - площадь треугольника из параллелограмма

Объяснение:
Пусть сторона параллелограмма AB равна 7x, а сторона CD равна 3x. Поскольку угол BAD делится пополам биссектрисой, у нас есть равенство углов DAE и EAB. Аналогично, угол ADC делится пополам, так что угол DEC равен ECD.

Так как AM - это биссектриса угла BAD, то равны синусы углов DAE и EAM. Аналогично, так как DN - это биссектриса угла ADC, то равны синусы углов ECD и EDA.

Таким образом, исходный параллелограмм ABCD разбивается на два треугольника - AED и BCM - каждый из которых имеет площадь равную половине площади параллелограмма.

Теперь мы знаем, что стороны параллелограмма находятся в соотношении 7:3, поэтому выразим стороны как 7x и 3x соответственно. Затем используем те же самые пропорции для нахождения высоты параллелограмма, опущенной на сторону AD.

Площадь параллелограмма равна произведению базы на высоту. Так как база AD равна 3x, а высота h, мы имеем следующее уравнение:

3x * h = 2 * Площадь(треугольника AED)

Поскольку MN = 1, треугольник BCM является прямоугольным треугольником с гипотенузой MN и катетами BM и CM. Так как треугольник BCM - это прямоугольный треугольник, то MBC и MCB являются прямыми углами.

Теперь, с помощью теоремы Пифагора, можем выразить BM и CM, так как основание BM равно 3x, а гипотенуза MN равна 1, получим:

BM^2 = MN^2 - CM^2
(3x)^2 = 1^2 - CM^2
9x^2 = 1 - CM^2
CM^2 = 1 - 9x^2

Аналогично, если выразить CM, получим:
CM^2 = 7x^2 - 1

Теперь, зная выражение для CM, мы можем вычислить площадь BCM, используя формулу для площади прямоугольного треугольника:
2 * Площадь(BCM) = CM * BM
2 * Площадь(BCM) = √(1 - 9x^2) * 3x

Зная площадь BCM, можем выразить 2 * AED, а потом найти площадь AED, разделив на 2:

2 * AED = Площадь(параллелограмма) - 2 * Площадь(BCM)
AED = (Площадь(параллелограмма) - 2 * Площадь(BCM)) / 2

Дополнительный материал:
Пусть x = 1. Тогда сторона AB будет равна 7, сторона CD будет равна 3, а высота параллелограмма на сторону AD будет равна 1. Мы можем использовать эти значения, чтобы найти площадь треугольника AED.

Совет:
Для лучшего понимания концепции площадей треугольника и параллелограмма, рекомендуется построить диаграмму с заданными значениями сторон и высоты. Это поможет визуализировать геометрические связи между фигурами и понять способ нахождения их площадей.

Проверочное упражнение:
В параллелограмме ABCD со сторонами в отношении 4:1 проведены биссектрисы углов BAD и ADC. Они пересекают сторону BC в точках M и N соответственно. Линии AM и DN пересекаются в точке E. Найдите площадь треугольника AED, если MN = 2, и высота параллелограмма, опущенная на сторону AD, равна 5.