Имеется дано: точки А(13 ; -2), В(-3 ; -6), С(4 ; 0). Необходимо найти: а) координаты вектора АС; б) длину вектора

Задача:

Имеется дано: точки А(13 ; -2), В(-3 ; -6), С(4 ; 0).

Необходимо найти:
а) координаты вектора АС;
б) длину вектора ВС;
в) координаты середины отрезка АВ;
г) периметр треугольника АВС;
д) длину медианы.

Решение:

a) Чтобы найти координаты вектора АС, нужно вычислить разность координат точек С и А:

Вектор АС = (x2 - x1, y2 - y1)
= (4 - 13, 0 - (-2))
= (-9, 2)

Координаты вектора АС: (-9, 2).

б) Длина вектора ВС можно вычислить с использованием формулы длины вектора:

Длина ВС = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
= √((4 - (-3))² + (0 - (-6))²)
= √((7)² + (6)²)
= √(49 + 36)
= √85

Длина вектора ВС: √85.

в) Чтобы найти координаты середины отрезка АВ, нужно взять среднее значение координат точек А и В:

x-координата середины отрезка АВ = (x1 + x2) / 2
= (13 + (-3)) / 2
= 10 / 2
= 5

y-координата середины отрезка АВ = (y1 + y2) / 2
= (-2 + (-6)) / 2
= (-8) / 2
= -4

Координаты середины отрезка АВ: (5, -4).

г) Чтобы найти периметр треугольника АВС, нужно сложить длины всех сторон:

Длина стороны АВ = √((-3 - 13)² + (-6 - (-2))²)
= √((-16)² + (-4)²)
= √(256 + 16)
= √272

Длина стороны ВС = √((4 - (-3))² + (0 - (-6))²)
= √((7)² + (6)²)
= √(49 + 36)
= √85

Длина стороны СА = √((-3 - 4)² + (-6 - 0)²)
= √((-7)² + (-6)²)
= √(49 + 36)
= √85

Периметр треугольника АВС = Длина стороны АВ + Длина стороны ВС + Длина стороны СА
= √272 + √85 + √85
= √272 + 2√85

Периметр треугольника АВС: √272 + 2√85.

д) Чтобы найти длину медианы треугольника АВС, нужно взять половину длины стороны, соединяющей вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Длину медианы можно найти с помощью формулы:

Длина медианы = (1/2) * √(2 * (b² + c²) - a²)

где a, b, c - длины сторон треугольника.

Длина медианы = (1/2) * √(2 * (√85)² + (√85)² - (√272)²)
= (1/2) * √(2 * 85 + 85 - 272)
= (1/2) * √(170 + 85 - 272)
= (1/2) * √(255 - 272)
= (1/2) * √(-17)
= (1/2) * √17 * i

Длина медианы: (1/2) * √17 * i.

Проверочное упражнение:

Найти координаты вектора ВС и длину вектора АС для точек A(5 ; -3) и B(-1 ; 2), С(3 ; -1).

Тема вопроса: Векторы и треугольники

Разъяснение:
а) Для нахождения координат вектора АС нужно вычесть координаты точки А из координат точки С. То есть, мы вычитаем соответствующие координаты друг из друга.

Координаты вектора АС: (4 - 13 ; 0 - (-2)) = (-9 ; 2)

б) Для нахождения длины вектора ВС используем формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат. Формула выглядит следующим образом:

Длина вектора ВС = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]

где (x1, y1) - координаты точки В, (x2, y2) - координаты точки С.

Подставляя значения из нашей задачи, получаем:

Длина вектора ВС = √[(-3 - 4)² + (-6 - 0)²] = √[(-7)² + (-6)²] = √[49 + 36] = √85

в) Для нахождения координат середины отрезка АВ нужно вычислить среднее значение каждой координаты (x, y) от точки A и точки B.

Координаты середины отрезка АВ: ((13 + (-3))/2 ; (-2 + (-6))/2) = (10/2 ; (-8)/2) = (5 ; -4)

г) Периметр треугольника АВС равен сумме длин всех его сторон. Для нахождения длины стороны треугольника используйте формулу расстояния между двумя точками.

Периметр треугольника АВС = Длина отрезка АВ + Длина отрезка ВС + Длина отрезка СА

= √[(13 - (-3))² + (-2 - (-6))²] + √[(-3 - 4)² + (-6 - 0)²] + √[(4 - 13)² + (0 - (-2))²]

= √(16² + 4²) + √(7² + 6²) + √(9² + 2²)

= √(256 + 16) + √(49 + 36) + √(81 + 4)

= √272 + √85 + √85

д) Медиана в треугольнике это отрезок, проведенный из вершины до середины противоположной стороны. Для нахождения длины медианы треугольника АВС, вычисляем длину отрезка между вершиной и серединой противоположной стороны.

Длина медианы = Длина отрезка СВ/2

= √[(4 - (-3))² + (0 - (-6))²]/2

= √(7² + 6²)/2

= √(49 + 36)/2

= √(85)/2


Совет: Для более точного понимания векторов и треугольников полезно нарисовать графическое представление данных точек и векторов на координатной плоскости. Это поможет визуализировать задачу и увидеть, как все связано.

Дополнительное задание: Найдите координаты вектора CB и длину медианы треугольника ABC, если даны точки A(2 ; -3), B(-1 ; 4), C(5 ; 1).