Find all triangles with maximum area among the set of triangles inscribed in a circle of fixed radius and known

Задача: Найдите все треугольники с максимальной площадью среди треугольников, вписанных в окружность с известным фиксированным радиусом и суммой квадратов известных углов (\alpha^2+\beta^2+\gamma^2= 89\pi^2/169). Для каждого такого треугольника определите минимальное значение среди всех попарных произведений углов. Запишите наименьшее из этих значений в ответе, округлив его до двух десятичных знаков. Все углы выражены в радианах.

Описание:
Для начала, давайте посмотрим на то, как мы можем найти треугольники вписанные в окружность с заданными условиями. Мы знаем, что углы треугольника сложатся в 180 градусов или в радианах, \alpha + \beta + \gamma = \pi.

Когда треугольник вписан в окружность, его углы суть половины дуг, соответствующих данным углам. То есть, \alpha = \frac{1}{2}\alpha_1, где \alpha_1 - это дуга, а \alpha - это мера угла.\

Таким образом, у нас есть следующие уравнения:

\frac{1}{2}\alpha_1 + \frac{1}{2}\beta_1 + \frac{1}{2}\gamma_1 = \pi
(\frac{1}{2}\alpha_1)^2 + (\frac{1}{2}\beta_1)^2 + (\frac{1}{2}\gamma_1)^2 = \frac{89\pi^2}{169}

Упрощая эти уравнения, мы получим:

\alpha_1 + \beta_1+\gamma_1 = 2\pi
\alpha_1^2 + \beta_1^2 + \gamma_1^2 = \frac{89\pi^2}{169}

Так как мы хотим найти треугольники с максимальной площадью, мы должны использовать формулу для площади треугольника: S = \frac{1}{2} ab \sin(C), где a, b и C - это стороны и угол треугольника соответственно.

Заметим, что угол C между дугой с известным углом \gamma и диаметром окружности совпадает с углом \gamma_1.
Теперь у нас есть условия для нахождения треугольников, у нас осталось лишь положить взаимоотношение длины стороны треугольника a с углом \alpha и аналогично других сторон.

Дополнительный материал:
Пусть дан радиус окружности R = 5. Найти треугольник с максимальной площадью, вписанный в эту окружность, где сумма квадратов углов равна 89π^2 /169.

Совет:
Для лучшего понимания этой задачи, рекомендуется ознакомиться с формулами для площади треугольника, вписанного в окружность, а также с уравнением суммы квадратов углов.