Если две прямые на плоскости не параллельны, то существует точка их пересечения или нет?

Содержание вопроса: Пересечение двух прямых на плоскости

Инструкция: Если две прямые на плоскости не параллельны, то существует точка их пересечения. Это основывается на аксиоме о двух не параллельных прямых в плоскости.

Для лучшего понимания, давайте рассмотрим геометрическое объяснение. Представьте две прямые на плоскости, которые не параллельны. Каждая из них продолжается бесконечно в обе стороны. Если прямые не пересекаются, это означает, что они расположены на одной и той же линии, и тогда они были бы параллельны. Но если они не параллельны, то они должны пересечься в какой-то точке. Эта точка пересечения является решением задачи.

Пример использования:
Даны две прямые на плоскости:
\(l_1: y = 2x + 3\)
\(l_2: y = -x + 5\)

Для определения существования точки пересечения, нужно решить систему уравнений, составленную из уравнений прямых:
\(2x + 3 = -x + 5\)

Решая уравнение, найдем значения переменных:
\(3x = 2\)
\(x = \frac{2}{3}\)

Подставим найденное значение \(x\) в любое из уравнений прямых:
\(y = 2 \cdot \frac{2}{3} + 3 = \frac{4}{3} + 3 = \frac{13}{3}\)

Таким образом, прямые \(l_1\) и \(l_2\) пересекаются в точке \(\left(\frac{2}{3}, \frac{13}{3}\right)\).

Совет: Для лучшего понимания и решения задач на пересечение прямых, полезно знать, что каждая прямая на плоскости может быть описана уравнением вида \(y = mx + c\), где \(m\) - угловой коэффициент, а \(c\) - свободный член. Система уравнений с двумя прямыми, которая имеет решение, должна иметь одно решение - значения \(x\) и \(y\), определяющее точку пересечения. Если система не имеет решения, прямые параллельны. Если система имеет бесконечное количество решений, прямые совпадают друг с другом.

Упражнение: Проверьте, пересекаются ли прямые \(y = 3x + 2\) и \(y = -4x + 7\), и если да, то найдите координаты точки пересечения.