Доведіть, що трикутник LAB є трикутником, якщо кут LAB дорівнює куту KBA і кут LBA дорівнює куту

Теорема уха Талеса: Якщо дві прямі знімають на одній стороні перпендикуляри на прямі, що знімають на другій стороні на цій стороні перпендикуляри, то ці прямі паралельні.

Доведення:
Дано: Кути LAB і KBA збігаються, кути LBA і ABL збігаються.

1. Припустимо, що трикутник LAB не є трикутником. Отже, пряма AB не паралельна до прямої KL.
2. Нехай точка C - точка перетину прямих AB і KL.
3. Так як кути LAB і KBA збігаються, тоді вони мають однаковий розмір, а отже, є прямими кутами.
4. За теоремою про повні кути, сума кутів у квадратній сумі LBCA рівна 180°.
5. Кут LKC є прямим кутом, тому сума кутів у трикутнику LKC також дорівнює 180°.
6. З пункту 4 та 5 випливає, що сума кутів у чотирикутнику LKCAB дорівнює 360°.
7. Протиріччя: кут LAB і кут LBA менші за 180°, а отже, сума кутів у чотирикутнику LKCAB не може бути 360°.
8. Отже, наше припущення про непаралельність прямих AB і KL невірне.
9. Пряма AB паралельна до прямої KL.
10. За властивістю паралельних прямих, трикутник LAB є трикутником.

Приклад використання:
Доведіть, що трикутник LAB є трикутником, якщо кут LAB дорівнює куту KBA і кут LBA дорівнює куту ABL.

Рекомендації:
Щоб краще зрозуміти доведення, спробуйте нарисувати прямокутні кути та обчислити суми кутів у квадраті LBCA та трикутнику LKC.

Вправа:
Доведіть, що трикутник ABC є рівнобедреним, якщо кут A дорівнює куту B.