Докажите, что векторы a (2; 1; 1) и b (2; 2; -6) могут быть выбраны в качестве ребер прямоугольного параллелепипеда

Тема урока: Векторы в пространстве

Инструкция: Прямоугольный параллелепипед можно построить, выбрав три вектора в пространстве в качестве его ребер. Чтобы доказать, что векторы a(2; 1; 1) и b(2; 2; -6) могут быть выбраны в качестве ребер прямоугольного параллелепипеда, необходимо убедиться, что их скалярное произведение равно нулю. Если скалярное произведение векторов равно нулю, значит векторы перпендикулярны друг другу и могут быть ребрами прямоугольного параллелепипеда.

Сначала найдем скалярное произведение векторов a и b:

a * b = (2 * 2) + (1 * 2) + (1 * -6) = 4 + 2 - 6 = 0

Скалярное произведение векторов a и b равно нулю, значит они перпендикулярны друг другу, и могут быть выбраны в качестве ребер прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы найти третье ребро параллелепипеда, нужно найти векторное произведение векторов a и b. Векторное произведение двух векторов дает вектор, перпендикулярный плоскости, образованной этими векторами.

a x b = ((1 * -6) - (1 * 2), (1 * 2) - (2 * -6), (2 * 2) - (2 * 1)) = (-8, 14, 2)

Таким образом, третье ребро прямоугольного параллелепипеда имеет координаты (-8, 14, 2).

Пример:
Ученик: Как доказать, что векторы a(2; 1; 1) и b(2; 2; -6) могут быть выбраны в качестве ребер прямоугольного параллелепипеда?
Учитель: Чтобы доказать, что векторы могут быть ребрами прямоугольного параллелепипеда, нужно проверить, что их скалярное произведение равно нулю. Можем посчитать его скалярное произведение и убедиться, что оно равно нулю. В данной задаче мы имеем a(2; 1; 1) и b(2; 2; -6). Вычислим их скалярное произведение: a * b = (2 * 2) + (1 * 2) + (1 * -6) = 4 + 2 - 6 = 0. Так как скалярное произведение равно нулю, мы можем заключить, что эти векторы перпендикулярны друг другу и могут быть ребрами прямоугольного параллелепипеда.

Совет: Для понимания векторов в пространстве полезно визуализировать их с помощью графиков или физических моделей. Можно использовать координатные оси для представления векторов и их направления.

Закрепляющее упражнение: Найдите векторное произведение векторов a(3; -2; 4) и b(1; 5; -2).