Докажите, что плоскость ABC перпендикулярна

Содержание вопроса: Плоскость ABC перпендикулярна

Разъяснение: Чтобы доказать, что плоскость ABC перпендикулярна чему-либо, необходимо понять, что означает перпендикулярность плоскости к другому объекту. В данном случае, нам нужно показать, что плоскость ABC перпендикулярна некоторой другой плоскости, прямой или вектору.

Перпендикулярность плоскости ABC будем доказывать с помощью свойства, которое гласит, что две плоскости перпендикулярны, если их нормальные векторы ортогональны друг другу.

Для начала, необходимо найти нормальный вектор плоскости ABC. Для этого можно воспользоваться простым способом: взять два её вектора и найти их векторное произведение. Рассмотрим векторы АВ и АС. Положим, начало координат в точку A.

Пусть вектор AB = (x1, y1, z1), а вектор AC = (x2, y2, z2). Тогда, нормальный вектор плоскости ABC, обозначим его как N, может быть найден с помощью векторного произведения:

N = AB x AC = ((y1 * z2) - (z1 * y2), (z1 * x2) - (x1 * z2), (x1 * y2) - (y1 * x2)).

Получив нормальный вектор плоскости ABC, мы можем убедиться, что он перпендикулярен плоскости, прямой или вектору, с которым нам нужно провести сравнение. Для этого важно проверить, что скалярное произведение нормального вектора плоскости ABC и вектора, прямой или вектора, равно нулю.

Например:
Задача: Докажите, что плоскость ABC перпендикулярна прямой l с уравнением x = 2 + t, y = 3 + 2t, z = 1 - t.

Решение:
1. Найдем векторы AB и AC:
AB = (x1, y1, z1) = (2, 3, 1)
AC = (x2, y2, z2) = (1, 2, -1)

2. Вычислим нормальный вектор плоскости ABC с помощью векторного произведения:
N = AB x AC = ((3 * (-1)) - (1 * 2), (1 * 1) - (2 * (-1)), (2 * 2) - (3 * 1))
= (-5, 3, 1)

3. Проверим, перпендикулярна ли плоскость ABC прямой l:
Для этого найдем скалярное произведение вектора N и вектора, описывающего прямую l:
N • l = (-5 * 1) + (3 * 2) + (1 * (-1)) = -5 + 6 - 1 = 0

Таким образом, скалярное произведение равно нулю, что означает, что плоскость ABC перпендикулярна прямой l.

Совет: Для более понятного представления, можно нарисовать плоскость ABC и прямую l на координатной плоскости или использовать графические программы для визуализации.

Упражнение: Докажите, что плоскость с уравнением 2x - 3y + z = 4 перпендикулярна вектору n, который имеет координаты (2, -3, 1).