Докажите, что отрезок, соединяющий точку на катете прямоугольного треугольника с противоположной вершиной, имеет длину

Теория:

Дан прямоугольный треугольник ABC, где AB - гипотенуза, BC - катет, AC - другой катет. Нам нужно доказать, что отрезок, соединяющий точку на катете BC с вершиной A, имеет длину, которая не больше длины гипотенузы AB.

Доказательство:

1. Проведем отрезок AD, где D - точка на BC и AD - отрезок, который нужно доказать.

2. Рассмотрим треугольники ABC и ABD.

3. В треугольнике ABC по теореме Пифагора имеем:
AB^2 = AC^2 + BC^2

4. В треугольнике ABD теоремой Пифагора получим:
AB^2 = AD^2 + BD^2

5. Учитывая, что BD^2 = AC^2 (оба равны высоте проведенной из вершины A на гипотенузу), получаем:
AD^2 = AC^2 + BD^2

6. Из пункта 4 следует, что AD^2 ≤ AB^2.

7. Квадрат отрезка AD не превышает квадрата гипотенузы AB, следовательно, длина AD не превышает длины AB.

Таким образом, отрезок AD, соединяющий точку на катете прямоугольного треугольника с противоположной вершиной, имеет длину, которая не больше длины гипотенузы треугольника.

Совет:

Для лучшего понимания данной теоремы, рекомендуется использовать конкретные численные значения сторон прямоугольного треугольника и проводить вычисления. Также полезно визуализировать треугольник на бумаге и провести отрезок AD для наглядности.

Упражнение:

Дан прямоугольный треугольник со сторонами AB = 5, AC = 4 и BC = 3. Найдите отрезок AD, который соединяет точку на катете BC с вершиной A. Ответ округлите до двух знаков после запятой.