Докажите, что основание равнобедренного треугольника больше 1/3, при условии, что его боковые стороны равны 1 и угол

Теорема: Докажем, что в равнобедренном треугольнике основание больше 1/3 при условии, что его боковые стороны равны 1 и угол между ними равен θ.

Доказательство: Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором AC = BC = 1 и угол ABC = угол ACB = θ.

Построим высоту BD, которая является биссектрисой угла ABC. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то BD является медианой и биссектрисой одновременно.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то BD также является высотой и биссектрисой.

Рассмотрим треугольник BCD. В этом треугольнике BD - это высота, а угол B равен θ.

Применим теорему синусов к треугольнику BCD:

sin(θ) = BD/BC

Так как BC = 1, получаем:

sin(θ) = BD

Теперь рассмотрим треугольник ABD. В этом треугольнике AB = AC = 1 и угол A равен θ.

Применим теорему синусов к треугольнику ABD:

sin(θ) = BD/AB

Так как AB = 1, получаем:

sin(θ) = BD

Из вышеизложенного следует, что sin(θ) = BD в обоих треугольниках BCD и ABD.

Так как sin(θ) - это максимальное значение для BD, то основание равнобедренного треугольника BD не может быть меньше sin(θ). Поэтому:

BD ≥ sin(θ)

А так как sin(θ) > 1/3 при 0 < θ < 60°, то получаем:

BD > 1/3

Таким образом, доказывается, что основание равнобедренного треугольника больше 1/3 при условии, что его боковые стороны равны 1 и угол между ними равен θ.

Например: Найти значение основания равнобедренного треугольника, если его боковые стороны равны 1 и угол между ними равен 45°.

Адаптация: Дана равнобедренная 45-45-90 градусов призма ABCD, в которой сторона основания AD равна 6. Найдите стороны прямоугольной грани и боковые рёбра.

Ещё задача: Найдите значение основания равнобедренного треугольника, если его боковые стороны равны 5 см, а угол между ними равен 60°.