Докажите, что если M является серединой отрезка BC и в прямоугольнике ABCD AB = 1 и BC = √2, то отрезки AC

Тема: Доказательство перпендикулярности двух векторов с использованием скалярного произведения

Объяснение: Для доказательства перпендикулярности двух векторов AC и DM при заданных условиях, воспользуемся свойствами скалярного произведения.

Скалярное произведение двух векторов равно нулю, если они являются перпендикулярными. Если мы докажем, что скалярное произведение векторов AC и DM равно нулю, то это подтвердит перпендикулярность этих векторов.

Для начала, найдём координаты точек A, B, C и D. Так как AB=1, то мы можем выбрать, например, A(0,0) и B(1,0).

M является серединой отрезка BC, следовательно, MC=MB=√2/2. Значит, координаты точки C равны (1,√2/2).

Теперь найдём векторы AC и DM:
- Вектор AC = C - A = (1 - 0, √2/2 - 0) = (1, √2/2).
- Вектор DM = M - D = (√2/2 - 0, √2/2 - 0) = (√2/2, √2/2).

Затем, вычислим их скалярное произведение:
AC · DM = (1 * √2/2) + (√2/2 * √2/2) = √2/2 + 2/2 = (3 + √2)/2.

Для того, чтобы мы могли заключить, что векторы AC и DM перпендикулярны, скалярное произведение должно быть равно нулю. Однако, в данном случае оно не равно нулю, поэтому мы не можем доказать, что AC и DM перпендикулярны.

Совет: При использовании скалярного произведения векторов для доказательства перпендикулярности, внимательно следите за вычислениями, чтобы не допустить ошибку. Обратите внимание, что в данной задаче векторы AC и DM не являются перпендикулярными.

Упражнение: Найдите скалярное произведение векторов AB и CD, если A(2, -3), B(4, 7), C(-5, 1) и D(0, 0).