Для треугольника АВС с точками А( -2; 5), В( 4;-1 ), С(-2;3), найдите: а) координаты точек середины М и К; б) длину

Название: Координаты и характеристики треугольника АВС

Описание:
Для решения этой задачи, мы можем использовать формулы, связанные с координатами точек и расчетом длины отрезков.

а) Для нахождения координат точек середины М и К нам нужно взять средние значения координат двух точек.

* Координаты точки М: \(x_М = \frac{{x_A + x_B}}{2}\), \(y_М = \frac{{y_A + y_B}}{2}\)
* Координаты точки К: \(x_К = \frac{{x_A + x_C}}{2}\), \(y_К = \frac{{y_A + y_C}}{2}\)

б) Для нахождения длины медианы МС и КВ, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками:

* Длина медианы МС: \(d_{МС} = \sqrt{{(x_C - x_M)^2 + (y_C - y_M)^2}}\)
* Длина медианы КВ: \(d_{КВ} = \sqrt{{(x_B - x_K)^2 + (y_B - y_K)^2}}\)

в) Для нахождения длины средней линии МК, мы должны найти среднее значение длин медиан МС и КВ:

* Длина средней линии МК: \(d_{МК} = \frac{{d_{МС} + d_{КВ}}}{2}\)

г) Для нахождения длин сторон треугольника, мы также можем использовать формулу расстояния между двумя точками:

* Длина стороны АВ: \(d_{АВ} = \sqrt{{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}\)
* Длина стороны АС: \(d_{АС} = \sqrt{{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}}\)
* Длина стороны ВС: \(d_{ВС} = \sqrt{{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}}\)

Дополнительный материал:
Для заданного треугольника АВС с координатами А(-2; 5), В(4;-1) и С(-2;3), находим:

а) Координаты точек М и К:
* \(x_М = \frac{{-2 + 4}}{2} = 1\), \(y_М = \frac{{5 + (-1)}}{2} = 2\)
Таким образом, координаты точки М равны (1, 2).
* \(x_К = \frac{{-2 + (-2)}}{2} = -2\), \(y_К = \frac{{5 + 3}}{2} = 4\)
Таким образом, координаты точки К равны (-2, 4).

б) Длины медиан МС и КВ:
* \(d_{МС} = \sqrt{{(-2 - 1)^2 + (3 - 2)^2}} = \sqrt{{9 + 1}} = \sqrt{10}\)
Таким образом, длина медианы МС равна \(\sqrt{10}\).
* \(d_{КВ} = \sqrt{{(4 - (-2))^2 + (-1 - 4)^2}} = \sqrt{{36 + 25}} = \sqrt{61}\)
Таким образом, длина медианы КВ равна \(\sqrt{61}\).

в) Длина средней линии МК:
* \(d_{МК} = \frac{{\sqrt{10} + \sqrt{61}}}{2}\)
Таким образом, длина средней линии МК равна \(\frac{{\sqrt{10} + \sqrt{61}}}{2}\).

г) Длины сторон треугольника:
* \(d_{АВ} = \sqrt{{(4 - (-2))^2 + (-1 - 5)^2}} = \sqrt{{36 + 36}} = \sqrt{72}\)
Таким образом, длина стороны АВ равна \(\sqrt{72}\).
* \(d_{АС} = \sqrt{{(-2 - (-2))^2 + (3 - 5)^2}} = \sqrt{{0 + 4}} = 2\)
Таким образом, длина стороны АС равна 2.
* \(d_{ВС} = \sqrt{{(-2 - 4)^2 + (3 + 1)^2}} = \sqrt{{36 + 16}} = \sqrt{52}\)
Таким образом, длина стороны ВС равна \(\sqrt{52}\).

Совет:
Чтобы лучше понять координаты и характеристики треугольника, можно построить его на координатной плоскости и визуализировать каждую точку и отрезок. Также полезно знать формулу расстояния между двумя точками на плоскости:

\(d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\)

Задача для проверки:
Для треугольника PQR с координатами P(1, 4), Q(5, 2) и R(3, 6), найдите:
а) Координаты точек середин М и К;
б) Длину медианы МQ и PR;
в) Длину средней линии МК;
г) Длины сторон треугольника PQ, QR и RP.