Даны координаты вершин треугольной пирамиды: A(2; 6; 12), B(4; 4; 2), C(-2; 0; 2), D(-8;-12;-6). Используя координатный

Предмет вопроса: Геометрия в пространстве

Описание:
а) Чтобы найти косинус угла между векторами →AB и →AD, необходимо найти скалярное произведение этих векторов и разделить его на произведение их длин.

Длина вектора можно найти по формуле: |→AB| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2), где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты концов вектора AB.

Скалярное произведение векторов можно найти по формуле: →AB * →AD = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2.

б) Уравнение плоскости, которая содержит грань ВСD данной пирамиды, можно найти, используя одно из трех точек (B, C или D) и векторное произведение двух векторов, лежащих на этой плоскости. Выберем, к примеру, точку B.

Уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) - координаты вектора, перпендикулярного плоскости.

в) Для определения синуса угла между ребром AB и плоскостью, которая содержит грань BCD, нужно найти скалярное произведение вектора, лежащего на ребре AB, и вектора, перпендикулярного этой плоскости. Затем поделить полученный результат на произведение длин векторов AB и вектора, перпендикулярного плоскости.

Пример:
а) Найдем косинус угла φ между векторами →AB и →AD:
→AB = (4-2; 4-6; 2-12) = (2; -2; -10)
→AD = (-8-2; -12-6; -6-12) = (-10; -18; -18)

|→AB| = √(2^2 + (-2)^2 + (-10)^2) = √(4 + 4 + 100) = √108 = 6√3
|→AD| = √((-10)^2 + (-18)^2 + (-18)^2) = √(100 + 324 + 324) = √748 = 2√187

→AB * →AD = 2*(-10) + (-2)*(-18) + (-10)*(-18) = -20 + 36 + 180 = 196

cosφ = (→AB * →AD) / (|→AB| * |→AD|) = 196 / (6√3 * 2√187) = 196 / (12√3 * √187) = 196 / (12 * √561) = 49 / (3√561)

б) Найдем уравнение плоскости, содержащее грань ВСD данной пирамиды:
→BC = (-2-4; 0-4; 2-2) = (-6; -4; 0)
→BD = (-8-4; -12-4; -6-2) = (-12; -16; -8)

Нормальный вектор плоскости, →BC x →BD = ((-4 * -8) - (0 * -12); (0 * -12) - (-6 * -8); (-6 * -16) - (-4 * -12)) = (32 - 0; 0 - 48; -96 - 48) = (32; -48; -144)

Уравнение плоскости: 32x - 48y - 144z + D = 0

в) Определим синус угла между ребром AB и плоскостью, содержащей грань BCD:
→BCD = (0 - 4; 0 - 4; 2 - 2) = (-4; -4; 0)

→AB * →BCD = 2*(-4) + (-2)*(-4) + (-10)*0 = -8 + 8 = 0

|→AB| = 6√3

sinφ = (→AB * →BCD) / (|→AB| * |→BCD|) = 0 / (6√3 * √32) = 0

Совет: Для удобства решения задач в трехмерном пространстве рекомендуется использовать координатный метод. Важно правильно определить координаты точек и векторы для нахождения углов, плоскостей и векторных произведений.

Дополнительное упражнение:
Даны координаты вершин пирамиды: A(1; 3; 5), B(-2; 4; 6), C(3; -1; 2), D(2; -2; -1). Используя координатный метод, выполните следующие задания:
а) Определите косинус угла между векторами →AC и →AD.
б) Найдите уравнение плоскости, которая содержит грань BCD данной пирамиды.
в) Определите синус угла между ребром BC и плоскостью, которая содержит грань ACD.