Дано: Точка А с координатами (12 ; -4), точка В с координатами (-8 ; -6), точка С с координатами (0 ; 9). Найти

Тема занятия: Векторы и треугольники

Объяснение:
а) Координаты вектора ВС можно найти, вычислив разность координат точек. В данном случае, чтобы найти вектор ВС, нужно вычесть координаты точки С из координат точки В. То есть: координата x вектора ВС равна (-8) - 0 = -8, а координата y равна (-6) - 9 = -15. Значит, координаты вектора ВС равны (-8 ; -15).

б) Длина вектора АВ может быть найдена при помощи формулы длины вектора: √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек А и В соответственно. В данном случае, координаты точки А равны (12 ; -4), координаты точки В равны (-8 ; -6). Подставляя значения в формулу, получим: √((-8 - 12)^2 + (-6 + 4)^2) = √((-20)^2 + (-2)^2) = √(400 + 4) = √404. Значит, длина вектора АВ равна √404.

в) Координаты середины отрезка АС можно найти, вычислив среднее значение координат точек. Для этого нужно сложить координаты точек и разделить их на 2. В данном случае, координаты точки А равны (12 ; -4), координаты точки С равны (0 ; 9). Вычислим среднее значение координат x и y: среднее значение x = (12 + 0) / 2 = 6, среднее значение y = (-4 + 9) / 2 = 2. Значит, координаты середины отрезка АС равны (6 ; 2).

г) Периметр треугольника АВС можно найти, вычислив сумму длин его сторон. В данном случае, у нас есть стороны АВ, ВС и СА. Мы уже вычислили длину стороны АВ в пункте б) (она равна √404), длину стороны ВС можно вычислить с помощью формулы длины вектора: √((-8 - 0)^2 + (-6 - 9)^2) = √((-8)^2 + (-15)^2) = √((64) + (225)) = √289 = 17, а сторона СА имеет такую же длину, как сторона ВС (так как это один и тот же отрезок). Суммируем длины всех сторон: √404 + 17 + 17 = √404 + 34. Получается, периметр треугольника АВС равен √404 + 34.

д) Длина медианы треугольника может быть найдена с помощью формулы длины медианы в треугольнике: (1/2) * √(2 * (a^2 + b^2) - c^2), где a, b и c - длины сторон треугольника. Мы уже вычислили длины сторон АВ и ВС в пункте б) и г) (они равны √404 и 17 соответственно). Длина стороны СА также равна 17. Подставляя значения в формулу, получим: (1/2) * √(2 * ((√404)^2 + 17^2) - 17^2) = (1/2) * √(2 * (404 + 289) - 289) = (1/2) * √(2 * (693) - 289) = (1/2) * √(1386 - 289) = (1/2) * √(1097). Значит, длина медианы треугольника АВС равна (1/2) * √(1097).

Демонстрация:
а) Координаты вектора ВС равны (-8 ; -15).
б) Длина вектора АВ равна √404.
в) Координаты середины отрезка АС равны (6 ; 2).
г) Периметр треугольника АВС равен √404 + 34.
д) Длина медианы треугольника АВС равна (1/2) * √(1097).

Совет:
Для более понятного понимания векторов и треугольников, полезно запомнить основные формулы и соотношения. Вы можете также представить векторы и треугольники на графиках для наглядности.

Практика:
Даны координаты точки D (3 ; 5) и точки E (-2 ; -3). Найдите:
а) Координаты вектора DE;
б) Длину вектора DE;
в) Координаты середины отрезка DE.