а) Какова длина отрезка между точками a(2; -1) и b(0; 7)? б) Как можно записать уравнение прямой, проходящей через

Тема занятия: Расстояние и уравнение прямой в декартовой системе координат

Инструкция:
а) Чтобы найти длину отрезка между двумя точками, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат. Формула имеет вид:
`√((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)`,
где `(x1, y1)` и `(x2, y2)` - координаты точек a и b соответственно.
Подставляя значения точек a(2, -1) и b(0, 7) в формулу, мы получаем:
`√((0 - 2)^2 + (7 - (-1))^2) = √((-2)^2 + (8)^2) = √(4 + 64) = √68`,
что примерно равно 8.246.

б) Уравнение прямой, проходящей через две точки, можно записать в форме `y = mx + b`, где `m` - наклон прямой, а `b` - свободный член, т.е. значение `y`, когда `x = 0`.
Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точки a(2, -1) и b(0, 7), сначала находим наклон `m`:
`m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (7 - (-1)) / (0 - 2) = 8 / (-2) = -4`.
Затем, используя одну из точек a или b и найденный наклон `m`, подставляем значения в формулу:
`y = mx + b`,
Например, используя точку a(2, -1):
`-1 = -4*2 + b`,
`-1 = -8 + b`,
`b = 7`.
Таким образом, уравнение прямой имеет вид `y = -4x + 7`.

в) Чтобы записать уравнение прямой, проходящей через середину отрезка ab и параллельной прямой y = 2x + 5, мы используем следующий факт: параллельные прямые имеют одинаковый наклон. Наклон параллельной прямой y = 2x + 5 равен 2.
Мы уже знаем, что точка F - середина отрезка ab. Чтобы найти координаты точки F, мы можем использовать формулы для нахождения среднего значения:
`x_F = (x_a + x_b) / 2 = (2 + 0) / 2 = 1`,
`y_F = (y_a + y_b) / 2 = (-1 + 7) / 2 = 3`.
Затем с использованием найденных координат точки F и наклона 2, мы можем записать уравнение прямой:
`y = mx + b`,
где `m = 2`, `x = x_F = 1`, и `y = y_F = 3`.
Подставляя значения в формулу, получаем:
`3 = 2*1 + b`,
`3 = 2 + b`,
`b = 1`.
Таким образом, уравнение прямой имеет вид `y = 2x + 1`.

Пример:
а) Длина отрезка между точками a(2; -1) и b(0; 7) равна примерно 8.246.
б) Уравнение прямой, проходящей через точки a(2, -1) и b(0, 7), имеет вид y = -4x + 7.
в) Уравнение прямой, проходящей через середину отрезка ab и параллельной прямой y = 2x + 5, имеет вид y = 2x + 1.

Совет: Для лучшего понимания материала, рекомендуется прорешать несколько дополнительных задач, используя данные формулы и уравнения прямых.

Дополнительное упражнение:
а) Найдите длину отрезка между точками a(-3; 4) и b(5; -6).
б) Запишите уравнение прямой, проходящей через точки a(4, 2) и b(-2, 6).
в) Запишите уравнение прямой, проходящей через середину отрезка ab и параллельной прямой y = -3x + 2.