а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой АС. б) Если AB = 5√2 и AP = 15, найдите угол между плоскостью

Тема: Параллельность плоскости и прямой

Пояснение: Чтобы доказать параллельность плоскости α и прямой АС, мы должны показать, что вектор, перпендикулярный плоскости α, также перпендикулярен прямой АС.

а) Для доказательства параллельности плоскости α и прямой АС, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Найдите нормальный вектор плоскости α. Для этого возьмите два несовпадающих вектора, лежащих в плоскости α, и найдите их векторное произведение.
2. Убедитесь, что нормальный вектор плоскости α также перпендикулярен вектору, определяющему прямую АС. Для этого найдите скалярное произведение этих двух векторов. Если скалярное произведение равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны друг другу и, следовательно, плоскость α параллельна прямой АС.

б) Чтобы найти угол между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды, мы будем использовать формулу:

cos(θ) = (AB • AP) / (|AB| • |AP|),

где AB - вектор, перпендикулярный основанию пирамиды, AP - нормальный вектор плоскости α, • представляет скалярное произведение векторов, и |AB| и |AP| - длины соответствующих векторов.

Пример использования:
а) Пусть вектора, лежащие в плоскости α, равны AB = (2, -3, 1) и AC = (4, -2, -1). Найдите, является ли плоскость α параллельной прямой АС.
б) Предположим, что AB = (5√2, 0, 0) и AP = (0, 15, 0). Найдите угол между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды.

Совет: Для лучшего понимания параллельности плоскости и прямой, предварительно разберитесь с тем, что такое нормальный вектор плоскости и скалярное произведение векторов.

Упражнение: Докажите, что плоскость β параллельна прямой ЕF, если вектора, лежащие в плоскости β, равны EF = (1, 2, 3) и EG = (-2, -4, -6).