5. В треугольниках ABC и MNK ∠B = ∠N. Какое отношение имеют площади треугольников ABC и MNK?

Тема занятия: Отношение площадей треугольников с равными углами

Объяснение:
При равных углах площади треугольников имеют отношение, который соответствует квадрату отношения длин их сторон.

В данной задаче у нас есть два треугольника ABC и MNK, у которых угол B равен углу N, обозначим эти углы как α. Площадь треугольника зависит от длины его сторон и синуса угла между ними.

Из равенства углов следует, что:
∠B = ∠N = α.

Так как стороны треугольников могут быть разной длины, обозначим их как AB, BC, AC и MN, NK, MK соответственно.

Отношение площадей треугольников ABC и MNK можно выразить следующим образом:
Площадь(ABC) / Площадь(MNK) = (AB * BC * sin(α)) / (MN * NK * sin(α)).

Заметим, что sin(α) сокращается, а значит, отношение площадей равно отношению произведений длин сторон треугольников:
Площадь(ABC) / Площадь(MNK) = (AB * BC) / (MN * NK).

Таким образом, отношение площадей треугольников ABC и MNK равно отношению произведений длин их сторон.

Например:
Пусть AB = 6, BC = 8, MN = 4 и NK = 6.
Площадь(ABC) / Площадь(MNK) = (6 * 8) / (4 * 6) = 48 / 24 = 2.

Совет:
Чтобы лучше понять это соотношение площадей треугольников, можно представить их на координатной плоскости и использовать свойство подобия фигур.

Ещё задача:
В треугольниках PQR и XYZ ∠P = ∠X. Если PR = 10, XZ = 6 и QY = 8, то какое отношение имеют площади треугольников PQR и XYZ?