107. Вычислите скалярное произведение векторов а и ь, если а) а = (6, 2), угол между (а, ь) равен 60°; б) а = 5

Скалярное произведение векторов и его вычисление

Пояснение: Скалярное произведение двух векторов определяется как произведение модулей векторов на косинус угла между ними. Формула для вычисления скалярного произведения векторов a и b выглядит следующим образом:

a · b = |a| * |b| * cos(θ)

где |a| и |b| - модули векторов a и b соответственно, θ - угол между векторами.

Демонстрация:

а) Даны векторы а = (6, 2) и b = (5, -2), угол между ними равен 60°. Чтобы вычислить скалярное произведение этих векторов, сначала найдем их модули:

|a| = √(6^2 + 2^2) = √(36 + 4) = √40 = 2√10
|b| = √(5^2 + (-2)^2) = √(25 + 4) = √29

Затем найдем косинус угла между векторами:

cos(60°) = 1/2

И, наконец, вычислим скалярное произведение:

a · b = |a| * |b| * cos(60°) = 2√10 * √29 * 1/2 = √10 * √29 = √(10 * 29) = √290.

Ответ: скалярное произведение векторов а и b равно √290.

Совет: Чтобы лучше понять концепцию скалярного произведения векторов, можно визуализировать векторы на плоскости и представить себе, что скалярное произведение равно произведению длин векторов на косинус угла между ними. Также полезно знать, что скалярное произведение векторов равно нулю, если угол между ними равен 90° и отрицательно, если угол между ними больше 90°.

Закрепляющее упражнение: Вычислите скалярное произведение векторов а = (-3, 4) и b = (2, 6), если угол между ними равен 45°.