1. Rewrite the question: - Given the points A (-3; 1), B (1; -2), and C (-1; 0). Find: 1) the coordinates

Тема: Векторы в координатной плоскости

Объяснение:
Для решения данной задачи нам необходимо знать основные понятия и способы работы с векторами в координатной плоскости.

1) Координаты вектора AB находятся как разность координат конечной точки B и начальной точки A:
AB = (x2 - x1; y2 - y1)

2) Для нахождения модуля вектора AB, используем формулу:
|AB| = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

3) Координаты вектора -AB находятся как противоположные координаты вектора AB:
-AB = (-x; -y)

4) Скалярное произведение векторов AB и CD вычисляется по формуле:
AB · CD = ABx * CDx + ABy * CDy

5) Косинус угла между векторами AB и CD определяется как:
cos(θ) = (AB · CD) / (|AB| * |CD|)

Пример:
1) a) Координаты вектора AB:
AB = (1 - (-3); (-2) - 1) = (4; -3)

b) Модуль вектора AB:
|AB| = sqrt((4^2) + (-3^2)) = sqrt(25) = 5

c) Координаты вектора -AB:
-AB = (-4; 3)

d) Скалярное произведение векторов AB и AC:
AB · AC = (4 * (-1)) + (-3 * (-1)) = -4 + 3 = -1

e) Косинус угла между векторами AB и AC:
cos(θ) = (-1) / (5 * sqrt(5))

2) a) Вектор BA:
BA = (-4; 3)

b) Вектор BC:
BC = (2; -2)

c) Вектор CA:
CA = (-6; 5)

3) a) Для коллинеарности векторов, нужно приравнять их координаты в пропорции:
k * (-1; 3) = (2; -6)
k = -2 / -1 = 2

b) Для перпендикулярности векторов, их скалярное произведение должно быть равно нулю:
(-1; 3) · (2k; -6) = 0
-2k + (-18) = 0
k = -18 / -2 = 9

4) Для нахождения отношения BM к MC, используем соотношение:
BM : MC = AB : AC

Совет:
При решении задач с векторами, полезно визуализировать векторы на координатной плоскости и использовать геометрические представления для понимания отношений между векторами. Также рекомендуется разобраться в основных понятиях и формулах, связанных с векторами.

Ещё задача:
Даны векторы A(2, -1) и B(-3, 4). Найдите:
1) Координаты вектора AB.
2) Модуль вектора AB.
3) Координаты вектора -AB.
4) Скалярное произведение векторов AB и BA.
5) Косинус угла между векторами AB и BA.