Симметрия и параллельный перенос в координатной плоскости
1°. Постройте отрезок А1В1, который является симметричным относительно начала координат относительно отрезка
1°. Постройте отрезок А1В1, который является симметричным относительно начала координат относительно отрезка АВ, и укажите координаты точек А1 и B1.
2°. Можно ли сделать параллельный перенос, чтобы точка В стала точкой С и точка А стала точкой B1?
3. При наличии возможности сделать параллельный перенос, укажите его формулы.
4. Докажите, что направления полупрямых АВ и А1В1 противоположны.
5. Докажите, что четырехугольник АВА1В1 является параллелограммом.
2°. Можно ли сделать параллельный перенос, чтобы точка В стала точкой С и точка А стала точкой B1?
3. При наличии возможности сделать параллельный перенос, укажите его формулы.
4. Докажите, что направления полупрямых АВ и А1В1 противоположны.
5. Докажите, что четырехугольник АВА1В1 является параллелограммом.
23.12.2023 07:41
Написать свой ответ:
Пояснение:
1°. Чтобы построить отрезок А1В1, симметричный относительно начала координат отрезку АВ, мы должны использовать особенности симметрии. Если точка (x, y) является симметричной относительно начала координат точки (x", y"), то координаты точек связаны следующим образом: x" = -x и y" = -y. Таким образом, чтобы построить А1, мы заменим координаты точки A на противоположные значения, то есть А1(-xA, -yA), и аналогично для точки B1, B1(-xB, -yB).
2°. Параллельный перенос в координатной плоскости позволяет переместить все точки фигуры на одинаковое расстояние и в одном направлении. Для выполнения задачи, чтобы точка В стала точкой С, а точка А стала точкой B1, нужно сделать параллельный перенос вектором, равным разности координат точек В и С (AB = BC), то есть AB = BC = (xB - xC, yB - yC). Тогда координаты новой точки B1 будут xB1 = xA + (xB - xC) и yB1 = yA + (yB - yC).
3°. Формулы для параллельного переноса точки А в точку B1: xB1 = xA + (xB - xC) и yB1 = yA + (yB - yC).
4°. Чтобы доказать, что направления полупрямых АВ и А1В1 противоположны, мы можем использовать симметричность точек. Мы знаем, что точка А1 является симметричной точке А, а точка B1 — симметричной точке В относительно начала координат. Из определения симметрии следует, что если мы соединим точку А с точкой В и точку А1 с точкой B1, то эти отрезки будут направлены в противоположные стороны, следовательно, направления полупрямых АВ и А1В1 противоположны друг другу.
5°. Для доказательства того, что четырехугольник АВА1В1 является параллелограммом, нужно показать, что противоположные стороны параллельны и равны по длине, или что одна сторона параллельна и равна по длине другой стороне, и что диагонали пересекаются в их серединах. В данном случае, сторона АВ и сторона А1В1 являются параллельными и равными, а диагонали АА1 и ВВ1 пересекаются в серединах.
Пример:
1°. Постройте отрезок АВ с координатами A(2, 3) и В(5, 1). Найдите координаты симметричных точек А1 и B1.
2°. Для параллельного переноса точки А(2, 3) в точку B1(6, 0) найдите координаты точки B.
3°. Если возможно, сделайте параллельный перенос точки С(4, 2) в точку B(5, 1). Укажите формулы переноса.
Совет: Чтобы лучше понять симметрию и параллельные переносы, рекомендуется изучить понятие координатной плоскости, направление векторов и свойства параллелограммов.
Упражнение:
Дана точка А(3, 2). Сделайте параллельный перенос этой точки на 5 единиц вправо и 3 единицы вниз. Найдите координаты новой точки.