Равнобедренные треугольники
1. Подтвердите эквивалентность треугольников ABD и CBD (рис. 44), при условии AB = BC и ∠ABD = ∠CBD. 2. Найдите длины
1. Подтвердите эквивалентность треугольников ABD и CBD (рис. 44), при условии AB = BC и ∠ABD = ∠CBD.
2. Найдите длины сторон равнобедренного треугольника, если его периметр равен 30 см, а боковая сторона на 6 см меньше основания.
3. Покажите, что AM = CK, основываясь на факте, что при равнобедренном треугольнике ABC на основании AC отмечены точки M и K так, что ∠ABM = ∠CBK, и точка M находится между точками A и K.
4. Докажите, что BO = DO, если известно, что AB = AD и BC = DC (рис. 45).
5. Найдите длину стороны AC треугольника ABC, если медиана BM перпендикулярна его биссектрисе AD.
2. Найдите длины сторон равнобедренного треугольника, если его периметр равен 30 см, а боковая сторона на 6 см меньше основания.
3. Покажите, что AM = CK, основываясь на факте, что при равнобедренном треугольнике ABC на основании AC отмечены точки M и K так, что ∠ABM = ∠CBK, и точка M находится между точками A и K.
4. Докажите, что BO = DO, если известно, что AB = AD и BC = DC (рис. 45).
5. Найдите длину стороны AC треугольника ABC, если медиана BM перпендикулярна его биссектрисе AD.
27.11.2023 19:55
Написать свой ответ:
1. Чтобы подтвердить эквивалентность треугольников ABD и CBD, при условии AB = BC и ∠ABD = ∠CBD, мы можем использовать следующее рассуждение. Треугольники ABD и CBD - равнобедренные треугольники, потому что AB = BC (условие равенства оснований) и ∠ABD = ∠CBD (условие равенства углов при основании). В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, поэтому сторона AD равна стороне CD. Таким образом, треугольники ABD и CBD эквивалентны.
2. Пусть x - длина основания равнобедренного треугольника. Так как периметр равен 30 см, то по формуле периметра равнобедренного треугольника получаем: 2x + 2(x - 6) = 30. Раскроем скобки и упростим выражение: 4x - 12 = 30. Теперь соберем все x"ы влево: 4x = 30 + 12. Далее, сложим числа: 4x = 42. И наконец, разделим обе стороны равенства на 4: x = 10.5. Таким образом, основание равнобедренного треугольника равно 10.5 см, боковая сторона будет равна x - 6 = 10.5 - 6 = 4.5 см.
3. Покажем, что AM = CK, основываясь на факте, что ∠ABM = ∠CBK и у треугольников ABC и ACK есть общая боковая сторона AC. Из условия известно, что треугольник ABC - равнобедренный треугольник, поэтому AB = BC. Рассмотрим два треугольника: △ABD и △CBD. Они равны по стороне AB = BC, а также по двум углам ∠ABD = ∠CBD и ∠BDA = ∠BDC. Поэтому, эти треугольники равны и по третьей стороне AD = CD. Таким образом, отрезки AM и CK равны между собой.
4. Для доказательства BO = DO, если AB = AD и BC = DC, воспользуемся теоремой о равенстве горизонтальных углов. Из данного условия следует, что точки B, O и D лежат на одной прямой. Также известно, что треугольник ABC и треугольник ACD - равнобедренные треугольники с равными основаниями AC и горизонтальными углами ∠BAC = ∠DAC. Из равенства оснований следует, что вертикальные углы ∠BOA = ∠DOA. Таким образом, у треугольников BOA и DOA есть два равных угла и равный вертикальный угол, а значит, треугольники равны и BO = DO.
5. Чтобы найти длину стороны AC треугольника ABC, если медиана BM перпендикулярна его биссектрисе, мы можем использовать свойство биссектрисы. Поскольку BM перпендикулярна биссектрисе AD, BM и AD являются высотами треугольника ABC. Зная, что AM является половиной базы, а BM является медианой, мы можем записать следующее уравнение: AM^2 + BM^2 = AC^2. Поскольку медиана BM делит основание AC пополам, то AM = 0.5AC. Заменяя это значение в уравнении, получаем: (0.5AC)^2 + BM^2 = AC^2. Упростив это уравнение, AC^2/4 + BM^2 = AC^2. Умножаем все члены уравнения на 4 для упрощения, получаем AC^2 + 4BM^2 = 4AC^2. Затем перенесем AC^2 влево и упростим: 3AC^2 = 4BM^2. Конечно, перенесем 4BM^2 вправо и найдем окончательный ответ: AC^2 = (4/3)BM^2. Чтобы найти длину стороны AC, возьмем корень из обеих сторон уравнения: AC = √((4/3)BM^2).
Теперь давайте перейдем к выполнению задачи для практики.
Дополнительное упражнение: В равнобедренном треугольнике ABC, сторона AC равна 12 см, а боковая сторона BC равна 8 см. Найдите длину стороны AB треугольника ABC по теореме Пифагора.