1. Подтвердите, что если bd=ac и bc = ad, то adb = acb. 2. В треугольнике mnk, где mn = nk, nc является медианой

Решение:

1. Подтверждение того, что если bd=ac и bc = ad, то ∠adb = ∠acb, можно получить, используя теорему об углах между прямыми и параллельными линиями.

Рассмотрим отрезок bc и прямую ad. Если bc = ad, то эти отрезки равны, что означает, что они параллельны.

Также, если bd = ac, то эти отрезки равны между собой, что означает, что они тоже параллельны.

Теперь рассмотрим угол adb и угол acb. Если мы имеем две параллельные прямые (ad и bc), и третья прямая (диагональ bd), пересекает их, то соответствующие углы находятся друг к другу под одинаковыми углами.

Таким образом, ∠adb = ∠acb.

2. В треугольнике △mnk, где mn = nk, nc является медианой, и ∠mnk = 120°. Чтобы найти значение угла ∠mnc, воспользуемся теоремой о медиане.

Теорема о медиане гласит, что медиана треугольника делит сторону, к которой она проведена, пополам, и создает два равных треугольника.

Поскольку mn = nk, то медиана nc делит сторону mk пополам, а значит, mk = nc.

Также, дано, что ∠mnk = 120°.

Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому ∠mnk + ∠mkn + ∠mkn = 180°.

Так как mn = nk, то ∠mkn = ∠mnk.

Подставляем значения в уравнение: 120° + 2∠mkn = 180°.

Вычитаем 120°: 2∠mkn = 60°.

Делим на 2: ∠mkn = 30°.

Таким образом, значение угла ∠mnc равно 30°.

3. Чтобы найти стороны равнобедренного треугольника, зная его периметр и то, что основание меньше боковой стороны на 2 см, воспользуемся системой уравнений.

Пусть основание равнобедренного треугольника равно x, а боковая сторона равна y.

Тогда, периметр равнобедренного треугольника будет равен: x + y + y = 2y + x = 13,6 см.

Также, известно, что основание меньше боковой стороны на 2 см: x = y - 2.

Подставляем это в уравнение периметра: 2y + (y - 2) = 13,6.

Упрощаем уравнение: 3y - 2 = 13,6.

Добавляем 2 к обеим сторонам: 3y = 15,6.

Делим на 3: y = 5,2.

Подставляем значение y в уравнение для основания: x = 5,2 - 2 = 3,2.

Таким образом, стороны равнобедренного треугольника равны 3,2 см и 5,2 см.

4. Чтобы доказать, что луч ар является биссектрисой угла маk, где на сторонах угла а отмечены точки м и k так, что ам = ак, и точка р лежит внутри угла а и рk = рм, воспользуемся теоремой о биссектрисе.

Теорема о биссектрисе утверждает, что если биссектриса треугольника делит противоположную сторону на два отрезка, то их отношение равно отношению длин оставшихся сторон треугольника.

В данном случае, ам = ак, а также рк = рм.

Поскольку ам = ак и рк = рм, отношение длины ак к длине кр равно отношению длин ар к длинам ра, что подтверждает, что луч ар является биссектрисой угла маk.

Thus, the ray ar bisects the angle mak.

Совет: Для лучшего понимания и запоминания материала, рекомендуется решать больше практических задач по каждому из этих тематических вопросов. Также полезно рисовать диаграммы для наглядного представления геометрических фигур и взаимных отношений.

Задание: В треугольнике △abc, ab = ac и ∠bac = 70°. Найдите углы ∠acb и ∠cab.