Свойства перпендикуляра в угле и перпендикулярные плоскости
1) Перпендикулярный отрезок проведен из точки О к плоскости угла АВС, который равен 90 градусам. Точка Д находится
1) Перпендикулярный отрезок проведен из точки О к плоскости угла АВС, который равен 90 градусам. Точка Д находится внутри угла, а точка О равноудалена от его сторон. а) Установите факт, что прямая ВО делит угол АВС пополам. б) Докажите, что плоскости ДАС и DOВ перпендикулярны друг другу. в) Найдите значение DO, если АС = 12 и ВС = 16.
16.12.2023 18:13
Написать свой ответ:
Объяснение:
а) Для доказательства, что прямая ВО делит угол АВС пополам, воспользуемся свойством перпендикуляра в угле. Перпендикуляр, проведенный из точки О к стороне АС, образует два равных угла с этой стороной – уголы ВОС и ВОА. Поскольку угол ВОС равен 90 градусам (по условию), а угол ВОА также равен 90 градусам (так как прямой угол делитс угол пополам), то по свойству перпендикуляра в угле прямая ВО делит угол АВС пополам.
б) Чтобы доказать, что плоскости ДАС и DOВ перпендикулярны друг другу, воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. Эта теорема утверждает, что если в пространстве прямые AB и CD перпендикулярны, а также прямые AB и EF перпендикулярны, то плоскости ACD и AEF перпендикулярны друг другу. В нашем случае, прямая ВО перпендикулярна плоскости ДАС, так как она проведена из точки О, лежащей на плоскости ДАС, и перпендикулярна сторонам угла. Также, прямая ВО перпендикулярна плоскости DOВ, так как она проведена из точки О, лежащей на плоскости DOВ, и перпендикулярна сторонам угла. Следовательно, плоскости ДАС и DOВ перпендикулярны друг другу.
в) Для нахождения значения DO воспользуемся теоремой Пифагора. В треугольнике ВСО, где ВО - гипотенуза, ВС - одна из катетов, AC - другой катет, получаем уравнение:
ВО^2 = ВС^2 + OC^2.
По условию, AC = 12, а угол BOC равен 90 градусам, поэтому OC равно половине длины AC, то есть OC = 12/2 = 6.
Подставим значение ВС = 12 и OC = 6 в уравнение и решим его:
DO^2 = 12^2 + 6^2,
DO^2 = 144 + 36,
DO^2 = 180,
DO = √180.
Дальнейшую упрощение или точное значение оставим в таком виде, так как не указаны единицы измерения.
Совет: Для лучшего понимания свойств перпендикуляров в угле и перпендикулярных плоскостей, рекомендуется обратить внимание на геометрическую интерпретацию иллюстраций, проводить собственные рисунки и подробно анализировать примеры.
Упражнение: Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. На ребре AB взята точка E, а на ребре AD - точка F. С плоскостью A1EF пересекаются неребра BB1, CC1 и DD1 в точках G, H и I соответственно. Доказать, что прямые EH и AC1 перпендикулярны друг другу. Определите значение GH, если AB = 5, AD = 6, AA1 = 4.