1 Найдите длину отрезка, соединяющего точки A(-3; 2; -4) и B(5; -4; 6). 2 Найдите координаты середины отрезка

Тема урока: Векторы в трехмерном пространстве

Инструкция: Для решения задач по векторам в трехмерном пространстве мы воспользуемся формулами и свойствами операций над векторами.

1. Для нахождения длины отрезка AB, используем формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]
Подставим координаты точек A(-3; 2; -4) и B(5; -4; 6) в эту формулу и получим ответ.

2. Для нахождения координат середины отрезка ABC, сложим координаты точек A, B и C и разделим результат на 3:
\[M = \left(\frac{(x_A + x_B + x_C)}{3}, \frac{(y_A + y_B + y_C)}{3}, \frac{(z_A + z_B + z_C)}{3}\right)\]
Подставим координаты точек A(-3; 2; -4), B(5; -4; 6) и C(3; -7; 4) в эту формулу и получим ответ.

3. Для нахождения координат векторов AB и CB, вычтем соответствующие координаты точек:
\[\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)\]
\[\overrightarrow{CB} = (x_B - x_C, y_B - y_C, z_B - z_C)\]
Для нахождения модуля вектора AB используем формулу:
\[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}\]
Для нахождения вектора s используем операции сложения и умножения вектора на число:
\[\overrightarrow{s} = 2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{CB}\]
Для нахождения косинуса угла между векторами AB и CB при заданном значении переменной x вектора a(x; -4; 3) и b(-15; 12; -9) воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:
\[\cos(\angle{AB, CB}) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CB}|}\]
Подставим координаты точек и значения переменной в эти формулы и получим ответ.

4. Для определения перпендикулярности двух векторов a и b, воспользуемся условием, что их скалярное произведение равно нулю:
\[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0\]
Подставим координаты векторов a(x; -4; 3) и b(-15; 12; -9) в это условие и найдем значение переменной x.

Например:

1. Найти длину отрезка, соединяющего точки A(-3; 2; -4) и B(5; -4; 6).

Совет: При работе с векторами в трехмерном пространстве рекомендуется проводить визуализацию задачи, чтобы лучше понять геометрическую суть операций.

Задание для закрепления: Найдите координаты векторов AB и CB, модуль вектора AB, координаты вектора s=2AB - 3CB и косинус угла между векторами AB и CB при заданном значении переменной x вектора a(x; -4; 3) и b(-15; 12; -9).