1. Могут ли три вершины - b, a, d - быть в одной плоскости, образуя параллелограмм abcd? 2. Правда ли, что только одна

Параллелограмм и плоскости:

1. Объяснение: Чтобы три вершины - b, a, d - образовывали параллелограмм abcd, они должны лежать в одной плоскости. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Если стороны ab и cd параллельны, а стороны ad и bc тоже параллельны, то b, a и d лежат в одной плоскости.

Например: Дано: b(1, 2, 3), a(4, 5, 6), d(7, 8, 9). Могут ли эти точки образовать параллелограмм abcd?

Решение: Для того чтобы проверить, лежат ли точки b, a и d на одной плоскости, проверим, являются ли векторы ab и ad коллинеарными.
Вектор ab = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3)
Вектор ad = (7-1, 8-2, 9-3) = (6, 6, 6)

Теперь сравним координатные отношения между этими векторами. Если они пропорциональны, то точки лежат в одной плоскости.
Отношение первых координат 3/6 = 1/2
Отношение вторых координат 3/6 = 1/2
Отношение третьих координат 3/6 = 1/2

Все отношения равны, поэтому точки b, a и d лежат в одной плоскости, и могут образовывать параллелограмм abcd.

2. Объяснение: Это утверждение верное. Если три точки лежат на одной прямой, то они образуют одномерное пространство. В одномерном пространстве существует только одна плоскость (правильнее сказать линия) проходящая через эти три точки. Также можно представить, что одномерное пространство - это часть двумерной плоскости, и любая плоскость в этой системе будет иметь только одну точку общего пространства с этой одномерной прямой.

3. Объяснение: Если четыре точки - b, c, a, d - не лежат в одной плоскости, то не все три точки будут лежать на одной прямой. Это следует из определения плоскости - она определяется тремя неколлинеарными точками. Если все четыре точки не лежат в одной плоскости, то из них нельзя выбрать три точки, которые лежат на одной прямой.

Практика: Если даны точки b(1, 2, 3), c(4, 5, 6), a(7, 8, 9), d(10, 11, 12), верно ли, что любые три из этих точек лежат на одной прямой?

Содержание: Геометрия в трехмерном пространстве

Инструкция:
1. Чтобы определить, могут ли три вершины быть в одной плоскости, образуя параллелограмм, мы можем использовать критерий коллинеарности. Для этого необходимо проверить, лежат ли векторы ab и ad в одной плоскости. Если векторное произведение ab и ad равно нулю, это означает, что эти векторы коллинеарны и точки b, a, d находятся в одной плоскости. Однако, если векторное произведение не равно нулю, то точки b, a, d не могут быть в одной плоскости.

2. Это утверждение верно. Если три точки лежат на одной прямой, то они не могут образовывать плоскость, так как прямая - это объект нулевой ширины и не имеет ориентации в плоскости. Следовательно, только одна плоскость проходит через три точки, которые лежат на одной прямой.

3. Если четыре точки - b, c, a и d - не лежат в одной плоскости, то это означает, что они образуют тетраэдр (полиэдр с четырьмя гранями). В тетраэдре всегда можно найти три точки, лежащие на одной прямой. Это свойство не зависит от того, в какой плоскости или трехмерной пространстве находятся эти точки. Таким образом, верно, что любые три из этих точек лежат на одной прямой.

Совет:
1. Для лучшего понимания геометрии в трехмерном пространстве, рекомендуется использовать визуальные модели и диаграммы. Это поможет вам представить трехмерные объекты и их отношения.

Задача для проверки:
Определите, могут ли точки a (1, 2, 3), b (4, 5, 6) и c (7, 8, 9) лежать в одной плоскости и образовать треугольник.