1. Каковы площадь всей поверхности и объем тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 4 см и

Тема: Геометрия пространственных фигур

Разъяснение:
1. Для нахождения площади поверхности и объема тела, полученного при вращении прямоугольника вокруг своей оси, необходимо использовать формулы для поверхности вращения. Площадь поверхности можно найти по формуле S = 2πrl, где r - радиус окружности, l - длина окружности. Объем тела можно найти по формуле V = πr^2h, где r - радиус основания, h - высота тела.
* Для данной задачи, прямоугольник со сторонами 4 см и 8 см вращается вокруг большей стороны (стороны 8 см). Радиус окружности, полученной при вращении, равен половине длины большей стороны, то есть 4 см. Высота тела равна длине меньшей стороны, то есть 4 см. Подставляя значения в формулы, получаем:
S = 2π * 4 см * 4 см = 32π см^2
V = π * (4 см)^2 * 8 см = 128π см^3

2. Для данной задачи, прямоугольник с катетом длиной 4 см и гипотенузой длиной 5 см вращается вокруг катета. Радиус окружности, полученной при вращении, равен половине длины гипотенузы, то есть 2.5 см. Высота тела равна длине катета, то есть 4 см. Подставляя значения в формулы, получаем:
S = 2π * 2.5 см * 4 см = 20π см^2
V = π * (2.5 см)^2 * 4 см = 25π см^3

3. Для нахождения объема и площади поверхности шара с радиусом 5 см, необходимо использовать соответствующие формулы. Объем шара можно найти по формуле V = (4/3) * π * r^3, где r - радиус шара. Площадь поверхности шара можно найти по формуле S = 4 * π * r^2.
* Подставляя радиус 5 см в формулы, получаем:
V = (4/3) * π * 5 см^3 ≈ 523.6 см^3
S = 4 * π * (5 см)^2 ≈ 314 см^2

4. Уравнение сферы в трехмерном пространстве с радиусом r и центром в точке А(x₁, y₁, z₁) имеет вид: (x - x₁)^2 + (y - y₁)^2 + (z - z₁)^2 = r^2.
* Для данной задачи, сфера с радиусом 3 дм и центром в точке А(-1, -2, 4), уравнение будет иметь вид: (x + 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 4)^2 = 9 дм^2.

5. Объем шара можно найти по формуле V = (4/3) * π * r^3. Зная радиусы двух шаров, можно записать уравнение: (4/3) * π * (r₁)^3 + (4/3) * π * (r₂)^3 = (4/3) * π * (r₃)^3, где r₃ - радиус третьего шара. Решая это уравнение, можно найти значение r₃.
* Для данной задачи, объемы двух шаров равняются: (4/3) * π * (3 мм)^3 и (4/3) * π * (4 мм)^3. Решая уравнение, можно найти радиус третьего шара r₃.

Совет:
Чтобы лучше понять геометрию пространственных фигур, рекомендуется ознакомиться с основными понятиями и формулами, изучать примеры решения задач, а также проводить практические упражнения для закрепления материала.

Дополнительное упражнение:
1. Найдите площадь поверхности и объем тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 6 см и 10 см вокруг своей оси, которая параллельна меньшей стороне.
2. Найдите площадь поверхности и объем тела, полученного при вращении равностороннего треугольника со стороной 8 см вокруг своей оси, которая проходит через одну вершину треугольника.
3. Найдите объем и площадь поверхности шара с радиусом 7 см.
4. Напишите уравнение сферы с радиусом 6 м и центром в точке B(2; -3; 5).
5. У двух шаров радиусы составляют 6 см и 9 см. Какой радиус должен иметь третий шар, чтобы его объем был равен сумме объемов первых двух шаров?