1. Каковы площадь поверхности и объем прямой призмы с ромбовидным основанием, у которого сторона 12 см и угол 30º

Математика: Геометрия

1. В данной задаче нам необходимо найти площадь поверхности и объем прямой призмы с ромбовидным основанием. Для начала найдем площадь основания призмы. Для ромба площадь вычисляется по формуле S = a * h, где a - длина основания, а h - высота.

S = 12 см * 7 см = 84 см²

Затем найдем площадь боковой поверхности призмы. Для ромбовидной призмы площадь боковой поверхности можно вычислить по формуле S = 4 * a * h * sin(α), где a - длина стороны ромба, h - высота, а α - угол между стороной ромба и плоскостью основания призмы.

S = 4 * 12 см * 7 см * sin(30°) ≈ 168 см²

Итак, площадь поверхности прямой призмы составляет 84 см² + 168 см² = 252 см².

Теперь найдем объем призмы. Для этого умножим площадь основания на высоту:

V = 84 см² * 7 см = 588 см³

Ответ: Площадь поверхности прямой призмы равна 252 см², а объем равен 588 см³.

2. В данной задаче нам нужно найти площадь поверхности и объем правильной четырехугольной пирамиды. Для начала найдем площадь основания пирамиды, которая является квадратом и вычисляется по формуле S = a^2, где a - длина стороны квадрата.

S = (12 см)² = 144 см²

Затем найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Для четырехугольной пирамиды площадь боковой поверхности можно вычислить по формуле S = p * l, где p - полупериметр основания, а l - апофема (расстояние от центра основания до вершины пирамиды).

В этой задаче основание пирамиды является квадратом, поэтому полупериметр равен p = 4 * a = 4 * 12 см = 48 см.

Апофема пирамиды равна l = 10 см.

S = 48 см * 10 см = 480 см²

Итак, площадь поверхности пирамиды составляет 144 см² + 480 см² = 624 см².

Теперь найдем объем правильной четырехугольной пирамиды. Для этого умножим площадь основания на треть высоты:

V = (1/3) * 144 см² * 8 см = 384 см³

Ответ: Площадь поверхности пирамиды равна 624 см², а объем равен 384 см³.

3. Для вычисления площади поверхности и объема цилиндра нам необходимо знать его радиус и высоту. Для начала найдем площадь поверхности цилиндра. Формула для площади поверхности цилиндра: S = 2πr² + 2πrh, где r - радиус цилиндра, h - высота цилиндра.

S = 2 * 3.14 * 3 см * 3 см + 2 * 3.14 * 3 см * 5 см = 56.52 см² + 94.2 см² = 150.72 см²

Теперь найдем объем цилиндра. Формула для объема цилиндра: V = πr²h.

V = 3.14 * 3 см * 3 см * 5 см = 141.3 см³

Ответ: Площадь поверхности цилиндра равна 150.72 см², а объем равен 141.3 см³.

4. В данной задаче нам нужно найти площадь поверхности сферы и объем шара с заданным радиусом. Вычислим площадь поверхности сферы. Формула для площади поверхности сферы: S = 4πr², где r - радиус сферы.

S = 4 * 3.14 * 6 см * 6 см = 452.16 см²

Теперь найдем объем шара. Формула для объема шара: V = (4/3)πr³.

V = (4/3) * 3.14 * 6 см * 6 см * 6 см = 904.32 см³

Ответ: Площадь поверхности сферы равна 452.16 см², а объем шара равен 904.32 см³.

Теперь рассмотрим металлический брусок в форме прямоугольного параллелепипеда со сторонами 9 см, 10 см и 11 см. Чтобы выяснить, достаточно ли его для плавления, нужно найти его объем.

V = 9 см * 10 см * 11 см = 990 см³

Таким образом, объем металлического бруска составляет 990 см³. Если его объем больше объема плавильной емкости или формы, то он будет достаточным для плавления.